Riemann面や代数曲線の幾何学

Riemann 面は, 様々な分野に顔を出す。 \(1\)次元複素多様体と思うと 複素解析学の対象だし, 複素数体上の代数曲線と思うと 代数幾何学の対象である。 そしてトポロジーでも重要である。 グラフとの類似も有名である。

• 向き付け可能な \(2\)次元の多様体は Riemann 面の構造を持つ

\(2\)次元多様体, つまり曲面と考えると境界付きのものを考えることができるが, 複素多様体の構造との関係をどのように規定してよいか, 明らかではない。私が目にしたものとしては, Pandharipande らの [PST24] で定義されているものがある。

• Riemann surface with boundary

本も色々あるが, 例えば Gareth Jones と Singerman の [JS87] がある。 タイトルは “Complex functions” であるが, かなり幾何学的視点で書かれていると思う。

曲面の mapping class group は, トポロジーの重要な研究対象である。

• mapping class group

境界を持つ Riemann 面に対しては, その “complex of curves” と呼ばれる 単体的複体が定義される [Har81; Ham]。 その単体的複体の性質は, Teichmüller 空間などとも関係あるらしい。Bestiva ら [BBM10] は, Riemann 面に対し complex of cycles という Torelli 群が作用する cell complex を定義している。

• complex of curves や complex of cycles

また, pants graph という pants decomposition から作られる \(1\)次元複体もできる。Hatcher と Thurston [HT80] によるものである。Brock は [Bro03] で Teichmüller 空間上の Weil-Petersson metric との関係を発見した。

Teichmüller 空間は, もちろん, Riemann 面と密接に結びついた概念である。

• Teichmüller 空間
• Riemann 面の moduli space は, Teichmüller space の mapping class group による商空間

Cohomology レベルではなく, 空間レベルで Riemann 面の moduli を調べるときには, orbifold として詳しく調べないといけない。例えば, Robbin と Salamon の [RS06] では Riemann 面の moduli space の Deligne-Mumford compactification を orbifold として実現している。また, Mondello は [Mon08] で, virtual homotopical dimension という概念を定義し, それについて考察している。 Segal の [Seg68] で述べられている, open covering から作られる simplicial space が用いられている。 その元になっているのが, Roth と Vakil の結果 [RV04] である。また, Harer の [Har86] で構成されている moduli space の homotopy type を表わす simplicial complex \(Y\) も重要な役割を果している。

Open manifold の中に, その homotopy type を表わす finite complex を構成するという点で, これは Salvetti complex の構成とよく似ている。これは Stasheff 氏から e-mail により指摘されたことである。

String theory との関係からは, Riemann 面からある空間への写像を考えることは重要である。そのような objectの moduli space を考えることもできる。Ralph Cohen と Madsen が [CM09] で, その空間の性質を調べている。

Riemann 面上の principal \(G\)- bundle の connection の空間を調べたのは, Shatz [Sha77], そして Atiyah と Bott [AB83] である。Atiyah と Bott は, Yang-Mills functional を用いて \((0,1)\)-connection の空間に stratification を定義した。Friedman と Morgan [FM02] は, 楕円曲線上の semistable \(G\)-bundle の moduli space を調べる目的で, この Atiyah-Bott の結果に着目し, その中の一つの定理の逆を示している。

Riemann 面を複素数体上の代数曲線として考えたとき, 境界を持つ Riemann 面にも代数幾何的概念を拡張しようと思うのは自然なアイデアだと思う。Fiore と Kriz [FK10] は Jacobian variety を境界が real analytical にパラメーター付けられた Riemann 面に対し定義している。その motivation は conformal field theory である。

Riemann 面への 群作用については, [KNS] の §2 が, よくまとまっていて便利である。

Riemann 面上の quadratic differential の moduli space と triangulated category の stability condition の空間が同じような構造を持つことは, Kontsevich と Seidel により独立に指摘されたようである。 それを証明したのが Bridgeland と Smith の [BS15] であり, その §2 で quadratic differential について, moduli space も含めてまとめてある。彼等は Strebel の本 [Str84] を参照しているが。

• quadratic differential

Bridgeland と Smith の結果は, Gaiotto, Moore, Neitzke の仕事 [GMN10; GMN13] の数学的解釈を与えるもののようであり, 彼等の名を冠した GMK differential の moduli space が調べられている。

References

[AB83]

M. F. Atiyah and R. Bott. “The Yang-Mills equations over Riemann surfaces”. In: Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 308.1505 (1983), pp. 523–615. url: http://dx.doi.org/10.1098/rsta.1983.0017.

[BBM10]

Mladen Bestvina, Kai-Uwe Bux, and Dan Margalit. “The dimension of the Torelli group”. In: J. Amer. Math. Soc. 23.1 (2010), pp. 61–105. arXiv: 0709.0287. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-09-00643-2.

[Bro03]

Jeffrey F. Brock. “The Weil-Petersson metric and volumes of 3-dimensional hyperbolic convex cores”. In: J. Amer. Math. Soc. 16.3 (2003), 495–535 (electronic). arXiv: math/0109048. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-03-00424-7.

[BS15]

Tom Bridgeland and Ivan Smith. “Quadratic differentials as stability conditions”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 121 (2015), pp. 155–278. arXiv: 1302.7030. url: https://doi.org/10.1007/s10240-014-0066-5.

[CM09]

Ralph L. Cohen and Ib Madsen. “Surfaces in a background space and the homology of mapping class groups”. In: Algebraic geometry—Seattle 2005. Part 1. Vol. 80. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2009, pp. 43–76. arXiv: math/0601750.

[FK10]

Thomas M. Fiore and Igor Kriz. “What is the Jacobian of a Riemann surface with boundary?” In: Deformation spaces. Aspects Math., E40. Vieweg + Teubner, Wiesbaden, 2010, pp. 53–74. arXiv: math/0610463. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-8348-9680-3_2.

[FM02]

Robert Friedman and John W. Morgan. “On the converse to a theorem of Atiyah and Bott”. In: J. Algebraic Geom. 11.2 (2002), pp. 257–292. arXiv: math/0006086. url: https://doi.org/10.1090/S1056-3911-01-00304-6.

[GMN10]

Davide Gaiotto, Gregory W. Moore, and Andrew Neitzke. “Four-dimensional wall-crossing via three-dimensional field theory”. In: Comm. Math. Phys. 299.1 (2010), pp. 163–224. arXiv: 0807.4723. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-010-1071-2.

[GMN13]

Davide Gaiotto, Gregory W. Moore, and Andrew Neitzke. “Wall-crossing, Hitchin systems, and the WKB approximation”. In: Adv. Math. 234 (2013), pp. 239–403. arXiv: 0907.3987. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2012.09.027.

[Ham]

Ursula Hamenstaedt. Geometry of the complex of curves and of Teichmueller space. arXiv: math/0502256.

[Har81]

W. J. Harvey. “Boundary structure of the modular group”. In: Riemann surfaces and related topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference (State Univ. New York, Stony Brook, N.Y., 1978). Vol. 97. Ann. of Math. Stud. Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 1981, pp. 245–251.

[Har86]

John L. Harer. “The virtual cohomological dimension of the mapping class group of an orientable surface”. In: Invent. Math. 84.1 (1986), pp. 157–176. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01388737.

[HT80]

A. Hatcher and W. Thurston. “A presentation for the mapping class group of a closed orientable surface”. In: Topology 19.3 (1980), pp. 221–237. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(80)90009-9.

[JS87]

Gareth A. Jones and David Singerman. Complex functions. An algebraic and geometric viewpoint. Cambridge University Press, Cambridge, 1987, pp. xiv+342. isbn: 0-521-30893-3; 0-521-31366-X. url: https://doi.org/10.1017/CBO9781139171915.

[KNS]

Ján Karabáš, Roman Nedela, and Mária Skyvová. Computing equivalence classes of finite group actions on orientable surfaces. arXiv: 2203.05812.

[Mon08]

Gabriele Mondello. “A remark on the homotopical dimension of some moduli spaces of stable Riemann surfaces”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 10.1 (2008), pp. 231–241. arXiv: math/0602111. url: http://dx.doi.org/10.4171/JEMS/109.

[PST24]

Rahul Pandharipande, Jake P Solomon, and Ran J Tessler. “Intersection theory on moduli of disks, open KdV and Virasoro”. In: Geom. Topol. 28.6 (2024), pp. 2483–2567. arXiv: 1409.2191. url: https://doi.org/10.2140/gt.2024.28.2483.

[RS06]

Joel W. Robbin and Dietmar A. Salamon. “A construction of the Deligne-Mumford orbifold”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 8.4 (2006), pp. 611–699. arXiv: math/0407090. url: http://dx.doi.org/10.4171/JEMS/101.

[RV04]

Mike Roth and Ravi Vakil. “The affine stratification number and the moduli space of curves”. In: Algebraic structures and moduli spaces. Vol. 38. CRM Proc. Lecture Notes. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004, pp. 213–227.

[Seg68]

Graeme Segal. “Classifying spaces and spectral sequences”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 34 (1968), pp. 105–112. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1968__34__105_0.

[Sha77]

Stephen S. Shatz. “The decomposition and specialization of algebraic families of vector bundles”. In: Compositio Math. 35.2 (1977), pp. 163–187.

[Str84]

Kurt Strebel. Quadratic differentials. Vol. 5. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. Springer-Verlag, Berlin, 1984, pp. xii+184. isbn: 3-540-13035-7. url: https://doi.org/10.1007/978-3-662-02414-0.