Associahedra and Related Structures

Associahedron は, Hopf 空間の ホモトピー結合性を記述するために, Stasheff [Sta63] により導入された 多面体の族 \(\{K_{n}\}\) である, と思っていたのだが, Devadoss らの [Dev+12] によると, それよりずっと前に Tamari により thesis [Tam51] で与えられていたようである。

• Hopf 空間と \(A_n\) 空間
• Tamari lattice

より一般に, \(A_{\infty }\) 構造を統率する組み合せ論的な構造が associahedron であると言ってよいだろう。その構成には様々なものがある。

• associahedron の構成

関連した構成として multiplihedron という多面体がある。

• multiplihedron と関連した話題

Markl [Mar06] や Saneblidze と Umble [SU11] は, bialgebra の up to homotopy 版, つまり \(A_{\infty }\)-bialgebra を定義するために biassociahedron という多面体の族 \(\{\mathrm {KK}_{m,n}\}\) を使うことを考えた。 \(\mathrm {KK}_{n,1}\cong \mathrm {KK}_{1,n}\) が associahedron \(K_{n}\) である。Markl の [Mar15] は “History and Pitfalls” から始まっているので, まずはそれを読むのが良いと思う。

• biassociahedron

構成は, Markl の [Mar06] で \(m+n\le 6\) の場合に, Saneblize と Umble の [SU11] で \(m\) または \(n\) が \(3\) 以下の場合に構成された。Saneblidze と Umble の [SU22] で全ての \(m,n\) について構成されたようである。

Associahedron については以下のことが分っている。

• associahedron の頂点の個数は Catalan number で与えられる。
• associahedron の minimal triangulation の最高次元の単体は parking function と一対一に対応する。 [Lod07]

代数的には, associahedron は unitを持たない \(A_{\infty }\)-algebra の構造を記述するものであるが, Fukaya, Oh, Ohta, Ono [Fuk+09a; Fuk+09b] や Hirsh と Milles [HM12] らにより, homotopy unit を持つ \(A_{\infty }\)-algebra が考えらえている。それに対応した “unital associahedra” を Muro と Tonks [MT14] が構成している。

• unital associahedron

Björner と De Longueville の [BD03] によると, stable Kneser graph \(S_{2,k}\) の neighorbood complex の中には, associahedron の boundary が deformation retract として含まれているようである。

Loday の [Lod07] の最後には, permutohedron の単体分割についての考察もある。 その単体分割は, Salvetti complex から得られるものとはかなり異なるもののようである。

Associahedron や permutohedron に関連の深い多面体として Bott と Taubes の cyclohedron [BT94] や Kapranov の permutoassociahedron [Kap93] がある。 Permutoassociahedron の一般化である permutonestohedron は [Gai15] で Gaiffi により導入されている。

• cyclohedron
• permutoassociahedron
• simple permutoassciahedron [BIP19; Iva20]
• permutonestohedron

正確には, Kapranov は assciahedron と permutohedron の face poset を合わせたような poset を定義し, それが CW ball の face poset であることを示した。 それが 凸多面体の face poset として実現できることを示したのは, Reiner と Ziegler [RZ94] である。Castillo と Liu [CL23] による別の実現もある。

Lambrechts と Turchin と Volic の [LTV10] によると, associahedron は \([0,1]\) の \(n\)個の点の configuration space の Fulton-MacPherson compactification であり, cyclohedron は, 一点がマークされた \(S^1\) の \(n\)個の点の configuration space の Fulton-MacPherson compactification である。もちろん, 位相空間としてこの2つの configuration space は同相であり, 彼らはそのことから誘導される cyclohedron から associahedron への写像を調べている。

Carr と Devadoss は [CD06] で graph から associahedron の類似を作る方法を与えている。できた polytope は, graph associahedron と呼ばれている。 Associahedron と cyclohedron の一般化になっているものである。

• graph associahedron と関連した構成

類似のものとして, Galashin [Gal24] による poset から作られる poset associahedron というものがある。

• poset associahedron

他の associahedron の一般化としては, Fomin と Zelevinsky の root系に対する associahedra の一般化の構成 [FZ02; CFZ02] がある。 Cluster algebra に関連したものであり, Tzanaki の [Tza08] では, cluster complex と呼ばれている。

• cluster complex

Cluster algebra との関連としては, Barceloら の仕事 [BSW13] もある。彼等は, associahedron の discrete fundamental group を調べ, その方向からの cluster algebra との関係を発見している。

Cluster algebra の視点からは, Kulkarni ら [Kul+] が “continuous version” を導入している。

Armstrong, Rhodes, Williams [ARW13] では, rational associahedron という一般化が導入されている。対応して, rational Catalan numberや rational Dyck path なども定義されている。

• rational associahedron

Noncrossing partition という組み合せ論的構造とも関係がある。

他にも様々なものに関係がある。例えば, Kapranov と Saito の [KS99] では, algebraic \(K\)-theory や Morse theory との関係が述べられている。

Fukaya category との関連で導入されたものとして Bottman [Bot19] による \(2\)-associahedron という poset がある。Bottman は abstract polytope であることを示していて, 更に convex polytope の face poset として実現できることを予想している。

• \(2\)-associahedron

Bottman は, Backman と Poliakova と共に [BBP] で, categorical \(n\)-associahedron という一般化を導入しているが, そこでは abstract polytope かどうかは議論していない。 それよりも, convex polytope として実現できるかどうかの方に興味があるようである。

References

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