Dyckeroff [Dyc11] によると matrix factorizations が最初に登場したのは, Eisenbud の [Eis80]
のようである。 文献としては, Yoshino の [Yos90] がある。 Dyckerhoff の [Dyc11] の section 2 も
introduction としてよい。 次数付きの場合は, H. Wu の [Wu14] に良いまとめがある。
- 体 \(k\) 上の regular local \(k\)-algebra \((R,\mathfrak {m})\) とその上の superpotential \(w\) に対する matrix
factorization の成す dg category \(\mathrm {MF}(R,w)\)
- \(\mathrm {MF}(R,w)\) の homotopy category は triangulated category
String theory との関連は Kontsevich により提案された。これについては, Math Overflow のこの質問に対する
Kevin Lin の回答をみるのがよい。Link も豊富である。Dyckerhoff と Murfet の [DM12] の最後には, Lurie の
extended topological quantum field theory との関係についても書いてある。
Knot homology との関係は, Khovanov と Rozansky [KR08a; KR08b] によるのだろうか。
この分野にはたくさんの文献がある。
Carquville と Runkel は, [CR10]で matrix factorization の tensor product, つまり matrix
factorization の category の monoidal structure を考えている。 彼等のアイデアは bimodule
を使うことであり, bimodule matrix factorization の category に monoidal structure を定義している。
物理学的な意味もあるようである。
Matrix factorization の Knörrer periodicity [Knö87] と topological \(K\)-theory の Bott
periodicity には関係があるらしい。Michael Brown が [Bro16] で示している。
Brown, Miller, Thompson, Walker [Bro+17] は, matrix factorization の
Grothendieck group 上に Adams operation を定義している。
一般化としては, 以下のようなものがある。
- twisted matrix factorization [Cas+16]
- \(n\)-fold matrix factorization [Tri]
- module factorization [Che]
- \(n\)-fold module factorization [SZ26]
- factorization category
Factorization category は, Positselski の 仕事 [Pos11; EP] に基づいて Ballard, Deliu,
Favero, Isik, Katzarkov の [Bal+16] で定義されているものである。
References
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[Bal+16]
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