Quiver の一般化や変種

Quiver はとても基本的な構造なので, quiver を元に様々な構造を付け加えたものが考えられている。

例えば, small category は, 積を持つ quiver と考えることができる。 より正確には, object (頂点) の集合を fix した quiver の成す monoidal category の monoid object である。

• small category

Quiver の辺や頂点にラベルを付けるのは一般的である。例えば, Lascoux [Las01] は, 辺が associative algebra の元でラベル付けられたものを用いて Yang-Baxter graph というものを定義している。 Talaska [Tal] は辺が formal variable でラベル付けられた quiver は, algebraic combinatorics で有用であると言っている。 そこでは, [Lin73; GV85] が参照されている。 ラベル付きの quiver は Kanda の Grothendieck Abelian category に関する仕事 [Kan20] でも現れる。そこでは colored quiver と呼ばれているが。 Cayley graph も辺にラベルが付いた quiver と思うことができる。

頂点が associative algebra で, 辺が bimodule でラベル付けられているものは, species [Gab73; DR75] とか modulated quiver [Den+08] などと呼ばれている。 これは有限次代数の表現論で使われるものであるが, 関連したものとして, Heng による Coxeter quiver [Hen] や, その一般化である Elias と Heng による fusion quiver [EH] がある。

• Coxeter quiver
• fusion quiver

平面に埋め込まれたものである条件をみたすものは web と呼ばれ, 低次元トポロジーで使われている。Caprau の [Cap09] など。Web の間の cobordism を foam と呼ぶらしい。

• web と foam

最初に述べたように, small category を (object の集合を fix した) quiver の category の monoid object とみなすと, enriched category の quiver 版として enriched quiver を考えることができる。Object の集合の代わりに monoidal category \(\bm {V}\) の comonoid object を考え, その上の bicomodule を \(\bm {V}\) での quiver と考えるのである。 これは, Aguiar の thesis [Agu97] では internal graph と呼ばれている。

• monoidal category \(\bm {V}\) での quiver

特に, 位相空間の圏で考えると, topological quiver という概念を得る。 Topological category の基礎になっている構造なので, topological category を考えるときには基本的である。それ以外にも, 作用素環論で新しい \(C^*\)-algebra を作るために使われているのは興味深い。 Deaconu の [Dea00]など。

• topological quiver

また, 高次の圏をこのように記述しようとすると, quiver の高次元版を考える必要がある。Rouquier [Rou] は strict 2-category の “生成元” として 2-quiver を考えている。 Weber [Web13] のように, より高次のものを考えるためには, \(n\)-globe の概念が一つの選択肢である。

• \(n\)-globe

References

[Agu97]

Marcelo Aguiar. Internal categories and quantum groups. Thesis (Ph.D.)–Cornell University. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1997, p. 295. isbn: 978-0591-54970-6.

[Cap09]

Carmen Caprau. “The universal \(\mathfrak {sl}(2)\) cohomology via webs and foams”. In: Topology Appl. 156.9 (2009), pp. 1684–1702. arXiv: 0802.2848. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2009.02.001.

[Dea00]

Valentin Deaconu. “Continuous graphs and \(C^{*}\)-algebras”. In: Operator theoretical methods (Timişoara, 1998). Theta Found., Bucharest, 2000, pp. 137–149.

[Den+08]

Bangming Deng, Jie Du, Brian Parshall, and Jianpan Wang. Finite dimensional algebras and quantum groups. Vol. 150. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 2008, pp. xxvi+759. isbn: 978-0-8218-4186-0.

[DR75]

Vlastimil Dlab and Claus Michael Ringel. “On algebras of finite representation type”. In: J. Algebra 33 (1975), pp. 306–394. url: https://doi.org/10.1016/0021-8693(75)90125-8.

[EH]

Ben Elias and Edmund Heng. Classification of finite type fusion quivers. arXiv: 2404.09714.

[Gab73]

Peter Gabriel. “Indecomposable representations. II”. In: Symposia Mathematica, Vol. XI (Convegno di Algebra Commutativa, INDAM, Rome, 1971). London: Academic Press, 1973, pp. 81–104.

[GV85]

Ira Gessel and Gérard Viennot. “Binomial determinants, paths, and hook length formulae”. In: Adv. in Math. 58.3 (1985), pp. 300–321. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(85)90121-5.

[Hen]

Edmund Heng. Coxeter quiver representations in fusion categories and Gabriel’s theorem. arXiv: 2302.01866.

[Kan20]

Ryo Kanda. “Construction of Grothendieck categories with enough compressible objects using colored quivers”. In: J. Pure Appl. Algebra 224.1 (2020), pp. 53–65. arXiv: 1802 . 03546. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2019.04.014.

[Las01]

Alain Lascoux. “Yang-Baxter graphs, Jack and Macdonald polynomials”. In: Ann. Comb. 5.3-4 (2001). Dedicated to the memory of Gian-Carlo Rota (Tianjin, 1999), pp. 397–424. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00026-001-8019-3.

[Lin73]

Bernt Lindström. “On the vector representations of induced matroids”. In: Bull. London Math. Soc. 5 (1973), pp. 85–90. url: https://doi.org/10.1112/blms/5.1.85.

[Rou]

Raphael Rouquier. 2-Kac-Moody algebras. arXiv: 0812.5023.

[Tal]

Kelli Talaska. Determinants of weighted path matrices. arXiv: 1202. 3128.

[Web13]

Mark Weber. “Multitensors as monads on categories of enriched graphs”. In: Theory Appl. Categ. 28 (2013), No. 26, 857–932. arXiv: 1106.1977.