ホモトピーや path に全く触れたことの無い人は, 1変数の複素解析, いわゆる関数論から入るのもいいかもしれない。
基本群や被覆空間にも繋がる。 もちろん, Riemann 面など幾何学的な対象とも直接に関係がある。
関数論の教科書としては, Alfors の本 [Ahl78] が有名である。 他に [Con78; Con95] とかもある。 Needam の
[ニーダ02] はユニークで面白いと思う。
具体的な関数も色々知っているとよい。例えば, dilogarithm などの hypergeometric function とか。
多変数の複素解析やその global 化としての複素多様体論は, 代数幾何や 層のコホモロジー と関係があり, ホモロジー代数が使われる。
複素数を四元数に変えた quaternionic analysis というものを考えている人もいる。
Igor Frenkel と Libine [FL08] によると, 1930年代に Fueter により調べられた [Fue34; Fue35]
ようである。 Sudbery [Sud79] は, Fueter とその共同研究者の仕事についての complete bibliography は
Haefeli の [Hae47] に含まれている, と言っている。残念ながらドイツ語であるが。
グラフ上に離散化した discrete complex analysis というものもある。
References
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[Ahl78]
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Lars V. Ahlfors. Complex analysis. Third. International Series in Pure
and Applied Mathematics. An introduction to the theory of analytic
functions of one complex variable. McGraw-Hill Book Co., New York,
1978, pp. xi+331. isbn: 0-07-000657-1.
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[Con78]
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John B. Conway. Functions of one complex variable. Second. Vol. 11.
Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1978,
pp. xiii+317. isbn: 0-387-90328-3.
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[Con95]
-
John B. Conway. Functions of one complex variable. II. Vol. 159.
Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1995,
pp. xvi+394. isbn: 0-387-94460-5.
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[FL08]
-
Igor Frenkel and Matvei
Libine. “Quaternionic analysis, representation theory and physics”.
In: Adv. Math. 218.6 (2008), pp. 1806–1877. arXiv: 0711.2699. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2008.03.021.
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[Fue34]
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Run Fueter. “Die Funktionentheorie der Differentialgleichungen \(\Theta u=0\) und
\(\Theta \Theta u=0\) mit vier reellen Variablen”. In: Comment. Math. Helv. 7.1 (1934),
pp. 307–330. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01292723.
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[Fue35]
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Rud
Fueter. “Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen
einer Quaternionenvariablen”. In: Comment. Math. Helv. 8.1 (1935),
pp. 371–378. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01199562.
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[Hae47]
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Hans Georg Haefeli.
“Hyperkomplexe Differentiale”. In: Comment. Math. Helv. 20 (1947),
pp. 382–420. url: https://doi.org/10.1007/BF02568139.
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[Sud79]
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A. Sudbery. “Quaternionic analysis”. In:
Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 85.2 (1979), pp. 199–224. url:
https://doi.org/10.1017/S0305004100055638.
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[ニーダ02]
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T. ニーダム. ビジュアル複素解析. 東京: 培風館, 2002, p. 662. isbn: 4563011029.
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