単体的複体

単体的複体は, Poincaré が考えたホモロジー群の定義を “well-defiined” にするための様々な試みから形成されてきた概念である。 Dieudonné の [Die09]によると, 最初は多様体の単体分割だけを扱っていたのが, Euclid空間に埋め込まれた単体的複体, そして抽象的な単体的複体, 更にCW複体や simplicial set というように定義が洗練されていった。

• 単体分割の問題
• 単体分割された多様体やその一般化

このように代数的トポロジーから見ると単体的複体は過渡的な概念であり, 現在ではあまり用いられることはない。その理由は, 余分な情報を含んでいること, そして functorial に扱うのが難しいこと, である。 単体的複体のホモロジーは, 単体分割に依らないので, 代数的トポロジー的性質を調べる際には, 単体分割は余分な情報なのである。もちろん, 具体的にホモロジーを計算するときには役に立つが, その際もより胞体の数が少ない胞体分割を考えるのが普通である。

単体達がどのように組み合わさっているかは, トポロジーというより組み合せ論の研究テーマであり, 組み合せ論で活発に研究されている。 最近では, 組み合せ論と代数的トポロジーの関係が, 緊密になってきているが, その方面を勉強するためには, 単体的複体に慣れ親しんでおく必要がある。 例えば Kozlov の本 [Koz08] の Part I には, 単体的複体をはじめとして, 凸多面体を貼り合わせた polyhedral complex, そしてCW複体までの基本的な性質がまとめられている。

• 単体的複体に関する基本的なことがら
• 単体的複体の組み合せ論的構造
• 組み合せ論的可換環論 (combinatorial commutative algebra)

組み合せ論的構造など, 異なる視点から単体的複体を見ることにより, Poincaré の考えた方法以外にも様々な方法でホモロジーが定義されている。例えば, Fløystad [Flø07; Flø06] の enriched homology や Celoria [Cel23; CCC23; CCC] の überhomology など。

• enriched homology
• überhomology

また, \(Q\)-analysis という単体的複体の調べ方もある。 Riihimäki [Rii23] によると, Atkin により一連の論文 [Atk72; Atk74b; Atk76] と本 [Atk74a] の中で提案され, 調べられたもののようである。この Atkin の仕事は, Barcelo らの discrete homotopy theory とも関係ある。

• \(Q\)-analysis
• discrete homotopy theory

Atkin は, 2つの単体が \(q\)-単体を共有するとき \(q\)-near であると定義し, \(q\)-near な単体の列で繋がっている2つの単体は \(q\)-connected と定義し, \(q\)-connected component を調べる, ということを提案した。この \(q\)-connected という言葉は, ホモトピー群が消えていることで定義する連結性とまぎらわしいが, 変えるのは難しそうである。

様々な組み合せ論的構造や代数的構造から単体的複体が定義されるが, グラフから定義されるものについては, 次にまとめた。

• グラフからできる単体的複体

代数的構造から定義されるものとしては, 例えば, Cuntz と Lentner [CL17] による Nichols algebra から定義されるもの, Higashitani と Ueyama [HU23] による noncommutative projective scheme から定義されるものなどがある。 ホモロジー代数的構造から定義されるものとしては, Riedtmann と Schofield [RS91] による tilting module から定義されるものや, Aoki ら [Aok+] による \(2\)-term silting complex から定義されるものがある。

また, 単体的複体や胞体複体は, グラフの高次元版とみなすこともできる。 例えば, Catanzaro と Chernyak と Klein [CCK15] は, Kirchhoff の network theorem の高次元版を考えている。

• グラフの一般化や変種

別の方向の一般化として \(q\)-analogue がある。 Ghorpade [GPR22] らにより \(q\)-matroid の定義に動機を得て, 導入された。

• \(q\)-complex

もちろん, 組み合せ論的な問題だけでなく幾何学的問題にも使われる。

多様体の性質の組み合せ論的 (離散的) な類似としては, 負 (非正) の曲率を持った空間に対応する概念としての systolic complex がある。 Januszkiewicz と Swiatkowski により, [JŚ06] で導入された。Systolic complex に properly discontinously かつ cocompactlyに作用する群は, \(k\)-systolic group と呼ばれる。Osadja [Osa07] によると Haglund によっても独立に発見された概念らしい。

• \(k\)-systolic complex
• \(k\)-systolic group

Benedetti と Ziegler [BZ11] によると, 数理物理にも使われるようである。Quantum gravity の離散化として単体的複体上で考えるというアプローチの解説として, Regge と Williams らの [RW00] や Ambjørn と Durhuus と Jonsson の [ADJ97] が挙げられている。

多様体の接束の自明化を framing と呼ぶが, その離散版として, ordered simplicial complex の framing を Dorn と Douglas が [DD] で定義している。

• framed simplicial complex

References

[ADJ97]

Jan Ambjørn, Bergfinnur Durhuus, and Thordur Jonsson. Quantum geometry. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. A statistical field theory approach. Cambridge: Cambridge University Press, 1997, pp. xiv+363. isbn: 0-521-46167-7. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511524417.

[Aok+]

Toshitaka Aoki, Akihiro Higashitani, Osamu Iyama, Ryoichi Kase, and Yuya Mizuno. Fans and polytopes in tilting theory I: Foundations. arXiv: 2203.15213.

[Atk72]

R. H. Atkin. “From cohomology in physics to \(q\)-connectivity in social science”. In: Internat. J. Man-Mach. Stud. 4 (1972), pp. 139–167. url: https://doi.org/10.1016/S0020-7373(72)80029-4.

[Atk74a]

R. Atkin. Mathematical Structure in Human Affairs. Heinemann educational books. Heinemann Educational, 1974. isbn: 9780435820251.

[Atk74b]

R. H. Atkin. “An algebra for patterns on a complex. I”. In: Internat. J. Man-Machine Studies 6 (1974), pp. 285–307.

[Atk76]

R. H. Atkin. “An algebra for patterns on a complex. II”. In: Internat. J. Man-Mach. Stud. 8.5 (1976), pp. 483–498.

[BZ11]

Bruno Benedetti and Günter M. Ziegler. “On locally constructible spheres and balls”. In: Acta Math. 206.2 (2011), pp. 205–243. arXiv: 0902.0436. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11511-011-0062-2.

[CCC]

Luigi Caputi, Daniele Celoria, and Carlo Collari. From the Mayer-Vietoris spectral sequence to überhomology. arXiv: 2304 . 10134.

[CCC23]

Luigi Caputi, Daniele Celoria, and Carlo Collari. “Categorifying connected domination via graph überhomology”. In: J. Pure Appl. Algebra 227.9 (2023), Paper No. 107381, 22. arXiv: 2201.00721. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2023.107381.

[CCK15]

Michael J. Catanzaro, Vladimir Y. Chernyak, and John R. Klein. “Kirchhoff’s theorems in higher dimensions and Reidemeister torsion”. In: Homology Homotopy Appl. 17.1 (2015), pp. 165–189. arXiv: 1206.6783. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2015.v17.n1.a8.

[Cel23]

Daniele Celoria. “Filtered simplicial homology, graph dissimilarity and überhomology”. In: J. Algebraic Combin. 57.3 (2023), pp. 859–904. arXiv: 2105.03987. url: https://doi.org/10.1007/s10801-022-01205-3.

[CL17]

M. Cuntz and S. Lentner. “A simplicial complex of Nichols algebras”. In: Math. Z. 285.3-4 (2017), pp. 647–683. arXiv: 1503.08117. url: https://doi.org/10.1007/s00209-016-1711-0.

[DD]

Christoph Dorn and Christopher L. Douglas. Framed combinatorial topology. arXiv: 2112.14700.

[Die09]

Jean Dieudonné. A history of algebraic and differential topology 1900–1960. Modern Birkhäuser Classics. Reprint of the 1989 edition [MR0995842]. Birkhäuser Boston, Ltd., Boston, MA, 2009, pp. xxii+648. isbn: 978-0-8176-4906-7. url: https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4907-4.

[Flø06]

Gunnar Fløystad. “Cohen-Macaulay cell complexes”. In: Algebraic and geometric combinatorics. Vol. 423. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2006, pp. 205–220. arXiv: math/0502541. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/423/08079.

[Flø07]

Gunnar Fløystad. “Enriched homology and cohomology modules of simplicial complexes”. In: J. Algebraic Combin. 25.3 (2007), pp. 285–307. arXiv: math/0411570. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10801-006-0038-z.

[GPR22]

Sudhir R. Ghorpade, Rakhi Pratihar, and Tovohery H. Randrianarisoa. “Shellability and homology of \(q\)-complexes and \(q\)-matroids”. In: J. Algebraic Combin. 56.4 (2022), pp. 1135–1162. arXiv: 2102.13102. url: https://doi.org/10.1007/s10801-022-01150-1.

[HU23]

Akihiro Higashitani and Kenta Ueyama. “Combinatorial classification of \((\pm 1)\)-skew projective spaces”. In: Q. J. Math. 74.3 (2023), pp. 939–956. arXiv: 2107.12927. url: https://doi.org/10.1093/qmath/haad012.

[JŚ06]

Tadeusz Januszkiewicz and Jacek Świa̧tkowski. “Simplicial nonpositive curvature”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 104 (2006), pp. 1–85. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10240-006-0038-5.

[Koz08]

Dmitry Kozlov. Combinatorial algebraic topology. Vol. 21. Algorithms and Computation in Mathematics. Berlin: Springer, 2008, pp. xx+389. isbn: 978-3-540-71961-8. url: https://doi.org/10.1007/978-3-540-71962-5.

[Osa07]

Damian Osajda. “Connectedness at infinity of systolic complexes and groups”. In: Groups Geom. Dyn. 1.2 (2007), pp. 183–203. arXiv: 0711.4093. url: https://doi.org/10.4171/GGD/9.

[Rii23]

Henri Riihimäki. “Simplicial \(q\)-Connectivity of Directed Graphs with Applications to Network Analysis”. In: SIAM J. Math. Data Sci. 5.3 (2023), pp. 800–828. arXiv: 2202 . 07307. url: https://doi.org/10.1137/22M1480021.

[RS91]

Christine Riedtmann and Aidan Schofield. “On a simplicial complex associated with tilting modules”. In: Comment. Math. Helv. 66.1 (1991), pp. 70–78. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02566636.

[RW00]

Tullio Regge and Ruth M. Williams. “Discrete structures in gravity”. In: J. Math. Phys. 41.6 (2000), pp. 3964–3984. arXiv: gr-qc/ 0012035. url: http://dx.doi.org/10.1063/1.533333.