Orbifold のトポロジーと幾何学

Orbifold は, [Sat57] において \(V\)-manifold として導入された。 局所的にEuclid空間を有限群の作用で割ったようなもののことである。

解説としては, Adem と Leida と Ruan の本 [ALR07] や Michael Davis の lecture notes [Dav11], そして Caramello Jr. の [Car] などがある。

• 群の作用する多様体
• orbifold の基本

Bahri ら [Bah+10] によると, orbifold と名付けたのは William Browder らしい。

いくつかのモデルがあるが, 基本は orbifold atlas を用いたものだろうか。 他には topological groupoid とみなすものも一般的である。 また, 多様体の一般化ということで, diffeological space として定義する流儀もある。 Iglesias, Karshon, Zadka の [IKZ10] など。

90年代から(?) 数理物理で使われるようになり, かなり popular な幾何学的対象となってきたようである。現代的な解説としてはRuanの [Rua02a]や[Rua02b], そしてde Fernex, Lupercio, Nevins, Uribe の [Fer+06] がよい。[Rua02b] は, orbifold についての conference の proceedings [AMR02] に含まれているものである。 このproceedings 自体, 重要な文献である。[BCR06]は, 物理学者や幾何学者向けと書いてあるが, 一般的な解説としてもよく書けている。 Lupercio と Uribe の [LU07] は, 物理学者と幾何学者向けと断ってあるが, topological quantum field theory との関係まで含めて簡潔に書いてあり, 一般向けのよい解説であると思う。今なら, Adem と Leida と Ruan の本 [ALR07] があるので, それで勉強するのがよいと思う。

「群の作用で割る」という操作を見直すことは, 多様体だけでなく 組み合せ論など, 他の分野でも行なわれている。 その際, orbifold のアイデアがかなり影響しているようである。例えば, Blandin と Díaz の [BD] など。

代数的トポロジーの研究対象としては, (コ)ホモロジーや homotopy type を考えたくなる。

• orbifold の (コ) ホモロジー論
• orbifold のホモトピー論

具体的に orbifold が登場する場面としては, 以下のようなものがある:

• symplectic reduction からは, orbifold が得られることが多い。
• Calabi-Yau \(3\)-fold は, Calabi-Yau orbifold の crepant resolution になっていることが多い。
• terminal singularity を持つ algebraic \(3\)-fold は symplectic orbifold に deform できる。
• McKay correspondence [Rei; BKR01] とその一般化 (McKay-Reid correspondece [Rei02], McKay-Ruan correspondence [Rua02a; Yas04; LP04], twisted categorical McKay correspondence [BP07])

McKay correspondence に関しては, Kirillov, Jr. の解説 [Kir06] がある。

代数幾何学などでは, orbifold に対応するものとして, stack を考えるのがよいようである。 Abramovich の [Abr08] では, orbifold と stack を同じものとして扱っている。 Lerman の [Ler10] にあるように, 微分幾何の文脈でも stack の言葉を使った方がよいらしい。確かに, orbifold を \(2\)-category の object とみなすべきという主張は納得できる。

• orbifold の幾何学

このように, stack を使った定式化を考えると, 自然に高次の圏を使わざるを得なくなる。 代数幾何学の文脈では, 様々な人により様々な方向で higher stack の理論が構築されている。Higher orbifoldといえるものとしては, Carchedi の [Car20] がある。

Carchedi はそのような higher orbifold に対し, その weak homotopy type を定義する方法を [Car16]で考えている。ここでいうweak homotopy type とは \(\infty \)-groupoid のことである。

特異点を持つ多様体とみなしたとき, orbifold は特異点の種類がかなり限定されたものであるが, その特異点に対する制限を少し緩めた branchfold というものを考えている人 [BPT11] もいる。

• branchfold

角付き多様体の orbifold 版も定義されている。 Yu の [Yu] である。Yu は, 単体分割についても考えている。

• orbifold with corners

有限群を可算離散群に一般化した quasifold というものを考えている人 [Pra01] もいる。 Symplectic orbifold への Hamiltonian torus action の moment map の像として rational polytope が得られるという Lerman と Tolman 結果 [LT97] を動機に, rational ではない多面体を moment map の像として得られないか, という問題を考えて導入されたもののようである。 Iglesias-Zemmour と Prato [IP21] は, diffeological space として定義することを提案している。

• quasifold

量子群を元にした quantum orbifold というものも考えられている。Harju の [Har16] など。

References

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