Complex of curves と類似の複体

Harvey は, [Har81]で 曲面 (\(2\)次元多様体) 上の単純閉曲線の集合から単体的複体を定義した。 その曲面上の単純閉曲線のホモトピー類を頂点とするものである。 それをその曲面の complex of curves という。Survey として Hamenstaedt の [Ham] がある。

重要な性質として, metric を持つこと, そして双曲的であることがある。Masur と Minsky [MM99; MM00] による。 Hensel と Przyticki [HP] によると, そのことを用いると boundary が定義できるようである。そしてそれが ending lamination space と同相であることは, Klarreich により証明されたらしい。

  • ending lamination space

変種として arc から成る複体, そして curve と arc から成る複体がある。

  • complex of arcs ([Hat91; IM])
  • complex of curves and arcs ([Hat91; KP])

Mapping class group との関係は多くの人により調べられている。ホモロジーについては, Harer [Har85; Har86] や Ivanov [Iva91a; Iva91b; Iva97], そして Broaddus [Bro] など。これらの複体の automorphism group と元の曲面の mapping class group との関係も調べられている。Korkmaz と Papadopoulos の [KP] の Introduction を見るとよいかもしれない。

Papadopoulos は McCarthy との共著 [MP] で, complex of domains という complex of curves を含む simplicial complex を定義している。 Disarlo [Dis] は, それに metric を定義し, その coarse geometry を調べている。

  • complex of domains

Bestvina ら [BBM10] は, Riemann 面に対し, complex of cycles という Torelli 群が作用する cell complex を定義している。Hatcher は [Hat] で類似の simplicial complex を構成している。

  • complex of cycles

Mapping class group と free groupのouter automorphism group \(\mathrm{Out}(F_n)\) の類似性から, \(\mathrm{Out}(F_n)\) に対する Teichmüller space の類似として outer space が, Culler と Vogtmann [CV86] により定義されている。

  • Culler と Vogtmann の outer space

Francaviglia と Martino の [FM] によると, Culler と Vogtmann の outer space については, Vogtmann の survey [Vog02] がある。 また, AMS Notices の2008年7月号の “What is \(\ldots \)” [Vog08] にも簡潔な解説がある。Francaviglia と Martino は outer space の isometry group が \(\mathrm{Out}(F_n)\) になることを示している。

Outer space の構成は, 様々な方向に一般化されている。群の有限個の free product へ拡張している Guirardel と Levitt の [GL], Forester [For] の simplicial \(G\)-tree の deformation space, Charney と Stambaugh と Vogtmann [CSV] の right-angled Artin group に対する類似, などである。

Sabalka と Savchuk の [SS] によると, outer space に比べ Teichmüller space の理解が進んでいるのは, Masur と Minsky の [MM99] により, curve complex が hyperbolic であることが分かっているから, らしい。 \(\mathrm{Out}(F_n)\) に対する curve complex の類似も色々考えられている。 Behrstock と Bestvina と Clay は [BBC] で次の三種類の類似の complex を考えている。

  • complex of free factors of a free group
  • complex of (connected) subgraphs
  • splitting complex

References

[BBC]

Jason Behrstock, Mladen Bestvina, and Matt Clay. Growth of intersection numbers for free group automorphisms. arXiv: 0806.4975.

[BBM10]

Mladen Bestvina, Kai-Uwe Bux, and Dan Margalit. “The dimension of the Torelli group”. In: J. Amer. Math. Soc. 23.1 (2010), pp. 61–105. arXiv: 0709.0287. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-09-00643-2.

[Bro]

Nathan Broaddus. Homology of the curve complex and the Steinberg module of the mapping class group. arXiv: 0711.0011.

[CSV]

Ruth Charney, Nathaniel Stambaugh, and Karen Vogtmann. Outer space for untwisted automorphisms of right-angled Artin groups. arXiv: 1212.4791.

[CV86]

Marc Culler and Karen Vogtmann. “Moduli of graphs and automorphisms of free groups”. In: Invent. Math. 84.1 (1986), pp. 91–119. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01388734.

[Dis]

Valentina Disarlo. On the coarse geometry of the complex of domains. arXiv: 1105.0987.

[FM]

Stefano Francaviglia and Armando Martino. The isometry group of Outer Space. arXiv: 0912.0299.

[For]

Max Forester. Deformation and rigidity of simplicial group actions on trees. arXiv: math/0107008.

[GL]

Vincent Guirardel and Gilbert Levitt. The outer space of a free product. arXiv: math/0501288.

[Ham]

Ursula Hamenstaedt. Geometry of the complex of curves and of Teichmueller space. arXiv: math/0502256.

[Har81]

W. J. Harvey. “Boundary structure of the modular group”. In: Riemann surfaces and related topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference (State Univ. New York, Stony Brook, N.Y., 1978). Vol. 97. Ann. of Math. Stud. Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 1981, pp. 245–251.

[Har85]

John L. Harer. “Stability of the homology of the mapping class groups of orientable surfaces”. In: Ann. of Math. (2) 121.2 (1985), pp. 215–249. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971172.

[Har86]

John L. Harer. “The virtual cohomological dimension of the mapping class group of an orientable surface”. In: Invent. Math. 84.1 (1986), pp. 157–176. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01388737.

[Hat]

Allen Hatcher. The cyclic cycle complex of a surface. arXiv: 0806.0326.

[Hat91]

Allen Hatcher. “On triangulations of surfaces”. In: Topology Appl. 40.2 (1991), pp. 189–194. url: http://dx.doi.org/10.1016/0166-8641(91)90050-V.

[HP]

Sebastian Hensel and Piotr Przytycki. The ending lamination space of the five-punctured sphere is the Noebeling curve. arXiv: 0910.3554.

[IM]

Elmas Irmak and John D. McCarthy. Injective Simplicial Maps of the Arc Complex. arXiv: math/0606612.

[Iva91a]

N. V. Ivanov. “Complexes of curves and Teichmüller spaces”. In: Mat. Zametki 49.5 (1991), pp. 54–61, 158. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01142643.

[Iva91b]

N. V. Ivanov. “Complexes of curves and Teichmüller spaces”. In: Mat. Zametki 49.5 (1991), pp. 54–61, 158. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01142643.

[Iva97]

Nikolai V. Ivanov. “Automorphism of complexes of curves and of Teichmüller spaces”. In: Internat. Math. Res. Notices 14 (1997), pp. 651–666. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792897000433.

[KP]

Mustafa Korkmaz and Athanase Papadopoulos. On the arc and curve complex of a surface. arXiv: 0907.3317.

[MM00]

H. A. Masur and Y. N. Minsky. “Geometry of the complex of curves. II. Hierarchical structure”. In: Geom. Funct. Anal. 10.4 (2000), pp. 902–974. arXiv: math/9807150. url: http://dx.doi.org/10.1007/PL00001643.

[MM99]

Howard A. Masur and Yair N. Minsky. “Geometry of the complex of curves. I. Hyperbolicity”. In: Invent. Math. 138.1 (1999), pp. 103–149. arXiv: math/9804098. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050343.

[MP]

John D. McCarthy and Athanase Papadopoulos. Automorphisms of the complex of domains. arXiv: math/0606592.

[SS]

Lucas Sabalka and Dmytro Savchuk. On the geometry of a proposed curve complex analogue for \(\mathrm{Out}(F_n)\). arXiv: 1007.1998.

[Vog02]

Karen Vogtmann. “Automorphisms of free groups and outer space”. In: Proceedings of the Conference on Geometric and Combinatorial Group Theory, Part I (Haifa, 2000). Vol. 94. 2002, pp. 1–31. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1020973910646.

[Vog08]

Karen Vogtmann. “What is\(\dots \)outer space?” In: Notices Amer. Math. Soc. 55.7 (2008), pp. 784–786.