String Theory

数学的に string theory や quantum field theory を扱ったものとしては, AMS から出ている [Del+99] が代表的なものだろう。 しかし, Malikov は [Mal08] で, それらの数学的な理論の欠点の一つとして, Lagrangian がほとんど扱われていないことを挙げている。Malikov のこの survey は, sheaves of vertex algebra を用いて, この欠点を克服しようとする試みを解説したものである。

紐や輪を particle とみなすのが (open または closed) string theory であるが, より一般的な\(1\)次元 CW複体, つまりグラフを particle とみなすことも考えられているようである。[Nat] では, network string theory と呼ばれていて, 参考文献として [VV] が挙げられている。

Superstring theory は \(10\)次元時空上の理論であり, Townsend の [Tow] によると, 次の5種類の可能性があるらしい。

• Type IIA
• Type IIB
• \(E_8\times E_8\) heterotic
• \(\SO (32)\) heterotic
• Type I

String theory と言えば \(D\)-brane である。 \(K\)-theory が本質的に現われることは興味深い。

• \(D\)-brane

これらを勉強するためには, まず以下の概念が必要になる。

• oribfold
• Calabi-Yau \(3\)-fold
• \(K\)-homology

関連したもので \(M\)-theory というものもある。5種類 の superstring theory と \(11\)次元の supergravity を統合する理論らしい。解説としては, Townsend の [Tow] がある。 \(K\)-theory や特性類, そして elliptic cohomology などと関係しているらしい。文献としては Sati と Kriz の [KS04; KS05; Sat05b; Sat05a] などがある。Sati の [Sat10] は expository に書かれている。

String theory における双対性の一つとして \(T\)-duality があるが, これも最近トポロジーの研究対象として調べられている。Bunke と Rumpf と Schick の [BRS06] など。

• \(T\)-duality

\(T\)-duality や mirror symmetry などの “duality” 現象を, 圏の言葉を用いて統一的に扱おうという試みとして Block という人の [Blo] は興味深い。 Baum-Connes 予想や代数幾何での derived equivalence と, 物理での duality の関係を考えている。

群の作用を考えるときには, discrete torsion という概念も重要なようである。Sharpe の [Shaa; Shab] など。

• discrete torsion

直接 string theory と関係があるかどうか分からないが, Chas と Suillivan [CS] により, 多様体上の free loop space の intersection theory を調べる string topology という分野が誕生した。 Chas と Sullivan の論文では, Witten の [Wit86] との比較もされているので, 全く無関係というわけでもなさそうである。 String topology と TQFT の関係については, Lupercio と Uribe と Xicotencatl の [LUX08] の Introduction が分かりやすい。

References

[Blo]

Jonathan Block. Duality and equivalence of module categories in noncommutative geometry I. arXiv: math/0509284.

[BRS06]

Ulrich Bunke, Philipp Rumpf, and Thomas Schick. “The topology of \(T\)-duality for \(T^{n}\)-bundles”. In: Rev. Math. Phys. 18.10 (2006), pp. 1103–1154. arXiv: math/0501487. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129055X06002875.

[CS]

Moira Chas and Dennis Sullivan. String Topology. arXiv: math/9911159.

[Del+99]

Pierre Deligne et al., eds. Quantum fields and strings: a course for mathematicians. Vol. 1, 2. Material from the Special Year on Quantum Field Theory held at the Institute for Advanced Study, Princeton, NJ, 1996–1997. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, Vol. 1: xxii+723 pp., Vol. 2: pp. i–xxiv and 727–1501. isbn: 0-8218-1198-3.

[KS04]

Igor Kriz and Hisham Sati. “M-theory, type IIA superstrings, and elliptic cohomology”. In: Adv. Theor. Math. Phys. 8.2 (2004), pp. 345–394. arXiv: hep-th/0404013. url: http://projecteuclid.org/euclid.atmp/1091543172.

[KS05]

Igor Kriz and Hisham Sati. “Type IIB string theory, \(S\)-duality, and generalized cohomology”. In: Nuclear Phys. B 715.3 (2005), pp. 639–664. arXiv: hep-th/0410293. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.nuclphysb.2005.02.016.

[LUX08]

Ernesto Lupercio, Bernardo Uribe, and Miguel A. Xicotencatl. “Orbifold string topology”. In: Geom. Topol. 12.4 (2008), pp. 2203–2247. arXiv: math/0512658. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2008.12.2203.

[Mal08]

Fyodor Malikov. “Lagrangian approach to sheaves of vertex algebras”. In: Comm. Math. Phys. 278.2 (2008), pp. 487–548. arXiv: math/0604093. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-007-0403-3.

[Nat]

S. M. Natanzon. Cyclic Foam Topological Field Theories. arXiv: 0712.3557.

[Sat05a]

Hisham Sati. “Flux quantization and the M-theoretic characters”. In: Nuclear Phys. B 727.3 (2005), pp. 461–470. arXiv: hep-th/0507106. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.nuclphysb.2005.09.008.

[Sat05b]

Hisham Sati. “M-theory and characteristic classes”. In: J. High Energy Phys. 8 (2005), 020, 8 pp. (electronic). arXiv: hep-th/0501245. url: http://dx.doi.org/10.1088/1126-6708/2005/08/020.

[Sat10]

Hisham Sati. “Geometric and topological structures related to M-branes”. In: Superstrings, geometry, topology, and \(C^*\)-algebras. Vol. 81. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2010, pp. 181–236. arXiv: 1001.5020.

[Shaa]

Eric R. Sharpe. Discrete Torsion and Gerbes I. arXiv: hep-th/9909108.

[Shab]

Eric R. Sharpe. Discrete Torsion and Gerbes II. arXiv: hep-th/9909120.

[Tow]

P. K. Townsend. Four Lectures on M-theory. arXiv: hep-th/9612121.

[VV]

E. Verlinde and M. Vonk. String networks and supersheets. arXiv: hep-th/0301028.

[Wit86]

Edward Witten. “Noncommutative geometry and string field theory”. In: Nuclear Phys. B 268.2 (1986), pp. 253–294. url: https://doi.org/10.1016/0550-3213(86)90155-0.