多様体

はっきりとは書いていないが, Poincaréが“Analysis Situs” [Poi96; 斉藤利96] で調べようとした空間は, (可微分) 多様体, より正確には Euclid空間の部分多様体, である。つまりトポロジーは多様体の研究から始まったのである。

多様体については, 実に様々な本が書かれているが, そのほとんどは, 可微分多様体の基礎を身につけることを目的としている。 無料で手に入るものとしては, 以下のようなものがある。

• van der Vorst の lecture notes [Vor]
• Hitchin の lecture notes [Hit]
• Steve Ferry の geometric topology に関する lecture notes [Fer]
• Benedetti による differential topology に関する lecture notes [Ben21]

また, Manifold Atlas という Wiki がある。PDF版が download できる項目もある。そのようなものは, Bulletin of Manifold Atlas の記事という位置付けのようである。

• 多様体についての基本
• PL多様体などの単体分割された多様体
• 可微分多様体
• 境界や角を持つ多様体
• 多様体の例
• 多様体の分類
• 多様体とホモトピー論
• 多様体の(コ)ホモロジー
• コボルディズム
• 手術の理論
• 低次元多様体
• 無限次元多様体
• metrizableでない多様体
• 多様体の一般化

References

[Ben21]

Riccardo Benedetti. Lectures on differential topology. Vol. 218. Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, [2021] ©2021, pp. xxix+425. isbn: 978-1-4704-6271-0. arXiv: 1907.10297. url: https://doi.org/10.1090/gsm/218.

[Fer]

Steve Ferry. Geometric Topology Notes. url: http://www.math.rutgers.edu/~sferry/ps/geotop.pdf.

[Hit]

Nigel Hitchin. Differentiable Manifolds. url: https://people.maths.ox.ac.uk/joyce/Nairobi2019/Hitchin-DifferentiableManifolds.pdf.

[Poi96]

Henri Poincaré. Œuvres. Tome VI. Les Grands Classiques Gauthier-Villars. [Gauthier-Villars Great Classics]. Géométrie. Analysis situs (topologie). [Geometry. Analysis situs (topology)], Reprint of the 1953 edition. Sceaux: Éditions Jacques Gabay, 1996, pp. v+541. isbn: 2-87647-176-0.

[Vor]

R.C.A.M. van der Vorst. Introduction to Differentiable Manifolds. url: https://people.maths.ox.ac.uk/joyce/Nairobi2019/Vorst-manifolds.pdf.

[斉藤利96]

斉藤利弥. ポアンカレ トポロジー. 数学史叢書. 東京: 朝倉書店, 1996.