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超平面 配置の定義は非常に単純で, 単に超平面の集合というだけである。単純すぎて, 一見何が面白いのか分からないかもしれない。
とりあえず様々な例を自分の手でいじってみるのがいいだろう。
超平面配置について学びたいと思った人は, まずは Orlik と Terao の本 [OT92] を見るべきだろう。 MIT の
OpenCousreWare で公開されている lecture note の中にも R. Stanley の hyperplane
arrangements がある。内容は[Sta07] とほぼ同じようである。 De Concini-Procesi の wonderful model
の解説ではあるが, Feichtner の [Fei05] も読み易い。主要な定義をまとめたものとして, 2009年8月の北大での conference の
Yuzvinsky による解説の PDF ファイルは便利である。未解決問題等については, Schenck の [Sch12] がある。その
Introduction にも, いくつか survey が紹介されている。
超平面配置は, いくつかの type に分けられて, それぞれ名前が付いている。
Supersolvable arrangement は Jambu と Terao [JT84] により導入されたものであるが, Falk と
Randell により [FR85] で導入された fiber-type arrangement と同じものである。これは, Terao [Ter86]
により示されたことである。
Free arrangement の解説としては, Yoshinaga の [Yos14] がある。
Kühnel [Küh] によると resonance arrangement という言葉は, Shadrin, Shapiro, Vainshtein
により [SSV08] の中で導入されたもののようである。 他にも, adjoint of the braid arrangement [AM17;
LNO23] や all-subsets arrangement [KTT11; KTT12] という名前でも呼ばれている。
具体例としては, graph からできるものや reflection group に関係したものがある。
超平面配置の研究では, その 組み合せ論的構造が本質的である。 超平面がちょっとぐらい傾いても構わないが,
他の超平面との交わり方が変わるようになるまで動いては困る。 このように「連続的変形」の観点から見ると, トポロジストにとって理解し易いかもしれない。
その組み合せ論的構造を表すのが intersection lattice である。
- 超平面の共通部分を取ることにより得られる lattice (intersection lattice)
Intersection lattice の中で最低次元のものが \(0\) 次元になるものを essential arrangement という。 また,
属する全ての超平面の共通部分が空でないものを central arrangement という。全ての超平面がベクトル空間になっているものを
linear arrangement というが, linear arrangement は central である。
- essential arrangement
- central arrangement
- linear arrangement
当然であるが, intersection lattice 以外に, 様々な不変量が定義されている。
超平面配置は, \(\R \) や \(\bbC \) 以外の体上のものを考えることもできるが, トポロジーに関係したものは, 実超平面配置と複素超平面配置だろう。その違いについて,
例えば, Ziegler の [Zie93] がある。
四元数上の arrangement を考えている人もいる。 Schlieper の [Sch] など。
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