Multicomplexes and Related Structures

Double complex は, horizontal な方向と vertical な方向の2種類の differential を持ち, その2つの differential が compatible になっている chain complex の変種であるが, \(\Z \times \Z \)-graded module 上で, 各非負整数 \(i\) に対し次数 \((-i,1-i)\) の differential \(d_{i}\) を持ち, ある条件をみたすものを multicomplex と呼ぶ。 Muro と Roitzheim の [MR19] では, twisted complex と呼ばれているが。

Livernet ら [LWZ20] によると, Wall [Wal61] により導入されたもののようである。その後, Gugenheim と May [GM74] により調べられている。

その spectral sequence との違いについては, Hurtubise の [Hur10] で調べられている。その motivation は Morse-Bott homology にあるようである。Hurtubise のものは bigraded だが, Dotsenko と Shadrin と Vallette の [DSV15] では singly graded な multicomplex が使われている。

Livernet ら [LWZ20] は, multicomplex の total complex に canonical に定義される filtration に付随する spectral sequence を調べている。

• spectral sequence associated with multicomplex

Fu ら [Fu+22] は, この spectral sequence を用いて multicomplex の category にいくつかの model structure を定義している。 そこでは, \(i\ge N\) に対し \(d_{i}=0\) であるような \(N\)-truncated multicomplex あるいは \(N\)-multicomplex の category 上の model structure も考えられている。

• \(N\)-multicomplex

\(2\)-multicomplex は本質的には double complex である。

Cirici ら [CLW] は, \(N\)-multicomplex の category に別の種類の model structure を定義している。 やはり spectral sequence を用いたものであるが, [Fu+22] とは異なる (Quillen equivalent ではない) ものとなっている。 彼等の動機は complex geometry に登場する multicomplex を調べることのようである。

References

[CLW]

Joana Cirici, Muriel Livernet, and Sarah Whitehouse. Model category structures on truncated multicomplexes for complex geometry. arXiv: 2501.13509.

[DSV15]

Vladimir Dotsenko, Sergey Shadrin, and Bruno Vallette. “De Rham cohomology and homotopy Frobenius manifolds”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 17.3 (2015), pp. 535–547. arXiv: 1203.5077. url: https://doi.org/10.4171/JEMS/510.

[Fu+22]

Xin Fu, Ai Guan, Muriel Livernet, and Sarah Whitehouse. “Model category structures on multicomplexes”. In: Topology Appl. 316 (2022), Paper No. 108104, 26. arXiv: 2001.10873. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2022.108104.

[GM74]

V. K. A. M. Gugenheim and J. Peter May. On the theory and applications of differential torsion products. Memoirs of the American Mathematical Society, No. 142. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1974, pp. ix+94.

[Hur10]

David E. Hurtubise. “Multicomplexes and spectral sequences”. In: J. Algebra Appl. 9 (2010), pp. 519–530. arXiv: 0809.1232. url: https://doi.org/10.1142/S0219498810004087.

[LWZ20]

Muriel Livernet, Sarah Whitehouse, and Stephanie Ziegenhagen. “On the spectral sequence associated to a multicomplex”. In: J. Pure Appl. Algebra 224.2 (2020), pp. 528–535. arXiv: 1809.00616. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2019.05.019.

[MR19]

Fernando Muro and Constanze Roitzheim. “Homotopy theory of bicomplexes”. In: J. Pure Appl. Algebra 223 (2019), pp. 1913–1939. arXiv: 1802.07610. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2018.08.007.

[Wal61]

C. T. C. Wall. “Resolutions for extensions of groups”. In: Proc. Cambridge Philos. Soc. 57 (1961), pp. 251–255. url: https://doi.org/10.1017/s0305004100035155.