曲面

\(2\)次元の多様体, つまり曲面は, \(3\)次元 Euclid空間に埋め込んだり嵌め込んだりできるので, 絵が描ける。また, 様々な見方ができるという点で特殊である。 向き付け可能な場合, Riemann面の構造を持つので, \(\bbC \) 上の代数曲線とみなすこともできる。

位相空間としては, genus で分類できるという点で扱いやすいものである。

• 向き付け可能な閉曲面の分類
• 向き付け不可能な閉曲面の分類

曲面の分類については, 初等的なトポロジーの本に解説がある。例えば [加藤十78] では豊富な絵を使って解説してある。

ホモロジーや基本群を求めるのも, それほど難しくはない。

• 曲面のホモロジー
• 曲面の基本群

Turaev は [Tur09] で, 曲面上のfiber bundle の分類を, その基本群を用いて記述することを考えている。

曲面の基本群から有限群へ準同型の個数については, Mednykh の公式というものがある。

• Mednykh の公式

Snyder の [Sny] に lattice topological quantum field theory を用いた証明がある。また, Mednykh の公式の歴史についても書いてある。

古典的な話題としては, \(\R ^3\) 内の\(2\)次曲面の上の幾何学がある。

• affine幾何学
• 球面幾何学
• 双曲幾何学

このように, 初等的な対象と思われがちな曲面であるが, まだまだ知られていないことがある。例えば, mapping class group が良い例である。

• 曲面の mapping class group

Harer や Ivanov により mapping class group を調べるために使われているのが, Harvey が定義した complex of curves である。

• complex of curves

Zorich の “flat surface” についての lecture note [Zor06a] や ICM2006 での講演録 [Zor06b] を見ると, mapping class group 以外にも調べることは色々あるということが分かる。 数理物理や数論とも関係ある, らしい。

• flat surface

他に関連したこととして, 以下のようなことがある。

• ribbon graph
• 曲面上に描かれた graph や quiver

References

[Sny]

Noah Snyder. Mednykh’s Formula via Lattice Topological Quantum Field Theories. arXiv: math/0703073.

[Tur09]

Vladimir Turaev. “On certain enumeration problems in two-dimensional topology”. In: Math. Res. Lett. 16.3 (2009), pp. 515–529. arXiv: 0804.1489.

[Zor06a]

Anton Zorich. “Flat surfaces”. In: Frontiers in number theory, physics, and geometry. I. Berlin: Springer, 2006, pp. 437–583. arXiv: math/0609392. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-31347-2_13.

[Zor06b]

Anton Zorich. “Geodesics on flat surfaces”. In: International Congress of Mathematicians. Vol. III. Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, pp. 121–146. arXiv: math/0609399.

[加藤十78]

加藤十吉. トポロジー. Vol. 11. サイエンスライブラリ 理工系の数学. 東京: サイエンス社, 1978.