Braiding を持つもの達

Yang-Baxter 方程式低次元トポロジーでの不変量の構成などの影響で, 様々なものが “braiding” を持つようになっている。

代表的なのは braided monoidal category である。

  • braided monoidal category
  • \(1\)つの object から生成された free braided monoidal category とは, braid群の列 \(\{B_0,B_1,B_2,\ldots \}\) に他ならない。
  • braided \(n\)-category [Bre98]
  • braided quasi-Coxeter category [AT19]

基本的なのは monoidal category の object \(x\) と morphism \(c:x\otimes x\to x\otimes x\) で braid relation を持つものである。 集合の圏のときには, Lebed [Leb17b] はそのようなものを braided set と呼んでいる。 ベクトル空間の圏では braided vector space と呼ばれている。 一般の monoidal category では braided object と呼ぶべきだろう。

Lebed は [Leb17a] で, いくつかの object の集まりで braiding を持つものを braided system と定義し, 調べている。

  • braided system

これ以外にも braided と名の付いたものや braid relation をみたすものには, 以下のようなものがある。

Braided group とは, Majid [Maj93] により導入された用語で, linear braided monoidal category での Hopf algebra object (group object) のことである。Majid [Maj94] や Lyubashenko と Majid [LM94] による解説がある。

Hopf algebra の重要な例の一つとして group algebra があるが, braided Hopf algebra も群から作ることができる。ただし matched pair of groups という群の組からである。Andruskiewitsch と Natale の [AN03] など。

Triangulated category の exceptional collection の集合への braid群の作用などについては, Gorodentsev と Kuleshov の “Helix theory” [GK04] がよくまとまっている, と思う。

他には, braided differential algebra [GPS11] というものもある。

Lebed [Leb13] は, 様々な代数的構造の (co)homology を pre-braiding というもので表し, 更に pre-braiding を持つベクトル空間の (co)homology を定義している。もっとも, 最初にそのような (co)homology を考えたのは, Carter, Elhamdadi, Saito [CES04] である。

  • braided (co)homology

References

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