Symmetric Simplicial Sets

Symmetric simplicial set とは, simplicial set を functor として定義するときの定義域の category \(\Delta \) は finite totally ordered set (の同型類) \([n]=\{0<1<\cdots <n\}\) を object とし, 順序を保つ写像 (poset の写像) を morphism としてできる category である。

順序を保つことを除いて全ての写像を morphism とした category \(!\Delta \) を考えると, その morphism に全ての置換が含まれる。 つまり 対称群が含まれていることになる。 そのため, functor

のことを symmetric simplicial set と呼ぶ。 最初に調べ始めたのは, Grandisの [Gra01a; Gra01b] だろうか。この \(!\Delta \) という記号も Grandis のものである。 \(!\) の意味がよく分からないので, あまり良い記号とは思えないが。

この category \(!\Delta \) は, Cisinski の [Cis06] に書かれているように, test category になる。

Rosicky と Tholen の [RT03; RT08] は, 与えられた small category に対する universal model category を構成するために symmetric simplicial set を用いている。

Roberts, Ruzzi, Vasselli [RRV09] は poset 上の bundle theory を構築するために用いている。

最近の興味深い話題は, partial gorup との関係である。Hackney と Lynd [HL25] による。 彼等は, その視点からは partial groupoid も定義している。

• partial gorup や partial groupoid

Simplicial set の定義で \(\Delta \) を単射の成す category に変えたものは \(\Delta \)-set や semisimplicial set などと呼ばれるが, symmetric simplicial set の定義に使われる \(!\Delta \) を単射の成す subcategory にしたものも使われている。Frigerio と Moraschini の [FM23] では unordered semisimplicial set と呼ばれているが, Payne ら [CGP21; ACP22] は symmetric \(\Delta \)-complex と呼んでいる。Symmetric semisimplicial set と呼ぶのが良いと思うが。

• unordered semisimplicial set or symmetric \(\Delta \)-complex or symmetric semisimplicial set

References

[ACP22]

Daniel Allcock, Daniel Corey, and Sam Payne. “Tropical moduli spaces as symmetric \(\Delta \)-complexes”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 54.1 (2022), pp. 193–205. arXiv: 1908.08171. url: https://doi.org/10.1112/blms.12570.

[CGP21]

Melody Chan, Søren Galatius, and Sam Payne. “Tropical curves, graph complexes, and top weight cohomology of \(\cM _{g}\)”. In: J. Amer. Math. Soc. 34.2 (2021), pp. 565–594. arXiv: 1805.10186. url: https://doi.org/10.1090/jams/965.

[Cis06]

Denis-Charles Cisinski. “Les préfaisceaux comme modèles des types d’homotopie”. In: Astérisque 308 (2006), pp. xxiv+390.

[FM23]

Roberto Frigerio and Marco Moraschini. “Gromov’s theory of multicomplexes with applications to bounded cohomology and simplicial volume”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 283.1402 (2023), pp. vi+153. arXiv: 1808.07307. url: https://doi.org/10.1090/memo/1402.

[Gra01a]

Marco Grandis. “Finite sets and symmetric simplicial sets”. In: Theory Appl. Categ. 8 (2001), pp. 244–252.

[Gra01b]

Marco Grandis. “Higher fundamental functors for simplicial sets”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 42.2 (2001), pp. 101–136.

[HL25]

Philip Hackney and Justin Lynd. “Partial groups as symmetric simplicial sets”. In: J. Pure Appl. Algebra 229.2 (2025), Paper No. 107864, 22. arXiv: 2310.01513. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2025.107864.

[RRV09]

John E. Roberts, Giuseppe Ruzzi, and Ezio Vasselli. “A theory of bundles over posets”. In: Adv. Math. 220.1 (2009), pp. 125–153. arXiv: 0707.0240. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2008.08.004.

[RT03]

J. Rosický and W. Tholen. “Left-determined model categories and universal homotopy theories”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 355.9 (2003), pp. 3611–3623. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-03-03322-1.

[RT08]

J. Rosický and W. Tholen. “Erratum to: “Left-determined model categories and universal homotopy theories” [Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), no. 9, 3611–3623; MR1990164]”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 360.11 (2008), p. 6179. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-08-04727-2.