多変数複素解析と複素多様体

複素多様体は, 複素解析, 代数幾何, 微分幾何など, 様々な分野に共通の重要な研究対象である。 Sheaf を用いて代数幾何的に調べることもできるし, 微分幾何を行なうこともできる。

次元が等しい複素多様体の間の複素解析的な写像は, covering space に非常に近い。コンパクトな Riemann面の場合だと, 全射ならば, 分岐被覆になる。 より一般には “fundamental theorem of finite map” という事実が成り立つ。 Grauert と Remmert の [GR84] の p. 17 9にある。Ghigi と Kollár の [GK] の section 2 を見るとよい。

最近, 複素多様体の研究にも, ホモトピー論の手法が使えることが分かってきた。 例えば, Forstneric の [For] では, Serre fibratioin や弱ホモトピー同値が登場する。 また Larusson は 積極的に model category を使おうとしている。まず, Forstnerič の survey [For03] を読むとよい。“holomorphicな問題” と “homotopicな問題”の関係が詳しく説明してある。

Symplectic manifold を含めた一般化として, Hitchin の generalized complex geometry がある。

• generalized complex geometry

References

[For]

Franc Forstneric. Invariance of the parametric Oka property. arXiv: 0901.4373.

[For03]

Franc Forstnerič. “The homotopy principle in complex analysis: a survey”. In: Explorations in complex and Riemannian geometry. Vol. 332. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, pp. 73–99. arXiv: math/0301067. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/332/05930.

[GK]

Alessandro Ghigi and János Kollár. Kaehler-Einstein metrics on orbifolds and Einstein metrics on spheres. arXiv: math/0507289.

[GR84]

Hans Grauert and Reinhold Remmert. Coherent analytic sheaves. Vol. 265. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Berlin: Springer-Verlag, 1984, pp. xviii+249. isbn: 3-540-13178-7. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-69582-7.