代数幾何学

代数的トポロジーを勉強するには, できれば代数幾何学の素養もあった方がよい。 Atiyah と Hirzebruch が位相空間に対する \(K\)理論を導入したのも, Hirzebruch 自身代数多様体を研究していたし, また Grothendieck の仕事を理解していたからである。最近では, もちろん Voevodsky の仕事から発展した motivic homotopy theory や derived algebraic geometry などがある。

代数幾何学は長い伝統のある広大な分野であり, 素人がその全体像を把握するのは容易ではない。 以下はその一部分である。その分類も適当なものである。

• 可換環論
• 代数的トポロジーのための代数幾何学の基本
• 代数群と group scheme
• 楕円曲線
• Grothendieck のアイデアから発展した分野
• 実および複素代数多様体
• geometric invariant theory
• toric variety
• algebraic cycle の成す空間
• モジュライ空間の幾何学
• Hilbert scheme
• 特異点と特異点を持った代数多様体の研究
• 代数幾何とトポロジーの比較 (類似)
• 数理物理と代数幾何

一般化も古くから考えられていて興味深い。ホモトピー論的な方向も多い。

• 代数多様体のホモトピー論
• 非可換代数幾何学
• \(\F _1\)上の代数幾何学
• tropical algebraic geometry
• tensor triangular geometry
• matroid の代数幾何学 [HK12; AHK18]
• graded commutative ring の代数幾何学 [HPa; HPb]
• commutative ring spectrum の代数幾何学, つまり spectral algebraic geometry [Lur]

References

[AHK18]

Karim Adiprasito, June Huh, and Eric Katz. “Hodge theory for combinatorial geometries”. In: Ann. of Math. (2) 188.2 (2018), pp. 381–452. arXiv: 1511.02888. url: https://doi.org/10.4007/annals.2018.188.2.1.

[HK12]

June Huh and Eric Katz. “Log-concavity of characteristic polynomials and the Bergman fan of matroids”. In: Math. Ann. 354.3 (2012), pp. 1103–1116. arXiv: 1104 . 2519. url: https://doi.org/10.1007/s00208-011-0777-6.

[HPa]

Lars Hesselholt and Piotr Pstragowski. Dirac geometry I: Commutative algebra. arXiv: 2207.09256.

[HPb]

Lars Hesselholt and Piotr Pstragowski. Dirac geometry II: Coherent cohomology. arXiv: 2303.13444.

[Lur]

Jacob Lurie. Spectral Algebraic Geometry. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/SAG-rootfile.pdf.