Generalizations and Variations of Chain Complexes

Chain complex あるいは differential graded object の変種として古くから使われてきたのは, double (chain) complex や bicomplex と呼ばれるものだろう。 2つの次数と2つの微分を持つもので, その2つの微分が compatible になっているものである。 ホモロジー代数の中でも, 2つの chain complex の tensor product や, chain complex の resolution などで自然に現れるが, 他にも, 複素多様体のコホモロジーなど, 様々な場面で登場する。

• double (chain) complex or bicomplex

Double complex と spectral sequence を合わせたような multicomplex というものもある。 Livernet ら [LWZ20] によると, Wall [Wal61] により導入されたもののようである。その後, Gugenheim と May [GM74] により調べられている。

• multicomplex

その spectral sequence との違いについては, Hurtubise の [Hur10] で調べられている。その motivation は Morse-Bott homology にあるようである。Hurtubise のものは bigraded だが, Dotsenko と Shadrin と Vallette の [DSV15] では singly graded な multicomplex が使われている。

Livernet ら [LWZ20] は, multicomplex の total complex に canonical に定義される filtration に付随する spectral sequence を調べている。

Fu ら [Fu+22] は multicomplex の category にいくつかの model structure を定義している。

やはり古くから考えられている chain complex の変種としては, \(d^2=0\) という条件をより一般の\(2\)以上の自然数 \(N\) を用いて \(d^N=0\) に変えたものがある。Kapranov [Kap] は \(N\)-complex と呼んでいる。

• \(N\)-complex

この枠組みで differential graded algebra の一般化も考えられている。Angel と Diaz ら [AD07; ACD07] によると 微分幾何への応用があるらしい。 Khovanovら [Kho16; KQ15] は categorification のために標数 \(p\) 上で \(d^p=0\) という微分を持つ differential graded algebra の一般化を考えている。 意外と重要な ホモロジー代数 ( ホモトピー代数) の研究対象かもしれない。

この Khovanov らの仕事は, Hopf algebra 上の module の category の構造を用いたホモロジー代数の一般化である Hopfological algebra の枠組みに基いている。

• Hopfological algebra

最初に chain complex の成す monoidal category を Hopf algebra を用いて記述できることに気がついたのは, Pareigis [Par81] だと思うが。その上の comodule の category が chain complex の成す monoidal categoryと 同値になる Hopf algebra を発見している。 この視点を一般化したのが, Khovanov による Hopfological algebra である。

Monoidal structure を考えない場合は, chain complex を functor とみなすという見方もある。最近, Holm と Jørgensen [HJ22] により一般化が考えられている。

• \(Q\)-shaped homological algebra

Chaio ら [Cha+24] のように, 次数付けが periodic になっている場合を考えている人もいる。また, Positselski [Pos] のように, より一般の Abel 群で grading の付いた場合を考えている人もいる。

• periodic complex

Dwyer と Kan [DK85; DK87] は Connesの cyclic category が self-dual であることに着目し, chain complex と cochain complex の両方の構造を持つものを duchain complexとして調べている。Krähmer と Madden [KM18] によると, 現在では Kassel [Kas87] による mixed complex という呼び名の方が一般的なようである。

• mixed complex

その一般化である mixed graded module (mixed graded complex) が, Pantev, Toën, Vaquié, Vezzosi [Pan+13] により導入されている。 Pavia [Pav23] は, Calaque も著者に加わった [Cal+17] も参照している。

• mixed graded module

Pavia は mixed graded module の stable \(\infty \)-category を定義し, その構造を調べている。

References

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[AD07]

Mauricio Angel and Rafael Díaz. “On \(N\)-differential graded algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 210.3 (2007), pp. 673–683. arXiv: math/0504398. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2006.11.009.

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[Cha+24]

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[DK87]

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[KQ15]

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[Pav23]

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[Wal61]

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