Generalizations and Variations of Chain Complexes

Chain complex あるいは differential graded object の変種として古くから使われてきたのは, double (chain) complex や bicomplex と呼ばれるものだろう。 2つの次数と2つの微分を持つもので, その2つの微分が compatible になっているものである。 ホモロジー代数の中でも, 2つの chain complex の tensor product や, chain complex の resolution などで自然に現れるが, 他にも, 複素多様体のコホモロジーなど, 様々な場面で登場する。

• double (chain) complex or bicomplex

Double complex と spectral sequence を合わせたような multicomplex というものもある。

• multicomplex

やはり古くから考えられている chain complex の変種としては, \(d^2=0\) という条件をより一般の\(2\)以上の自然数 \(N\) を用いて \(d^N=0\) に変えたものがある。Kapranov [Kap] は \(N\)-complex と呼んでいる。

• \(N\)-complex

この枠組みで differential graded algebra の一般化も考えられている。Angel と Diaz ら [AD07; ACD07] によると 微分幾何への応用があるらしい。 Khovanovら [Kho16; KQ15] は categorification のために標数 \(p\) 上で \(d^p=0\) という微分を持つ differential graded algebra の一般化を考えている。 意外と重要な ホモロジー代数 ( ホモトピー代数) の研究対象かもしれない。

この Khovanov らの仕事は, Hopf algebra 上の module の category の構造を用いたホモロジー代数の一般化である Hopfological algebra の枠組みに基いている。

• Hopfological algebra

最初に chain complex の成す monoidal category を Hopf algebra を用いて記述できることに気がついたのは, Pareigis [Par81] だと思うが。その上の comodule の category が chain complex の成す monoidal categoryと 同値になる Hopf algebra を発見している。 この視点を一般化したのが, Khovanov による Hopfological algebra である。

Monoidal structure を考えない場合は, chain complex を functor とみなすという見方もある。最近, Holm と Jørgensen [HJ22] により一般化が考えられている。

• \(Q\)-shaped homological algebra

Chaio ら [Cha+24] のように, 次数付けが periodic になっている場合を考えている人もいる。また, Positselski [Pos] のように, より一般の Abel 群で grading の付いた場合を考えている人もいる。

• periodic complex

Dwyer と Kan [DK85; DK87] は Connesの cyclic category が self-dual であることに着目し, chain complex と cochain complex の両方の構造を持つものを duchain complexとして調べている。Krähmer と Madden [KM18] によると, 現在では Kassel [Kas87] による mixed complex という呼び名の方が一般的なようである。

• mixed complex

その一般化である mixed graded module (mixed graded complex) が, Pantev, Toën, Vaquié, Vezzosi [Pan+13] により導入されている。 Pavia [Pav23] は, Calaque も著者に加わった [Cal+17] も参照している。

• mixed graded module

Pavia は mixed graded module の stable \(\infty \)-category を定義し, その構造を調べている。

References

[ACD07]

Mauricio Angel, Jaime Camacaro, and Rafael Díaz. “On the \((3,N)\) Maurer-Cartan equation”. In: J. Nonlinear Math. Phys. 14.4 (2007), pp. 540–561. arXiv: 0704.0824. url: http://dx.doi.org/10.2991/jnmp.2007.14.4.4.

[AD07]

Mauricio Angel and Rafael Díaz. “On \(N\)-differential graded algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 210.3 (2007), pp. 673–683. arXiv: math/0504398. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2006.11.009.

[Cal+17]

Damien Calaque, Tony Pantev, Bertrand Toën, Michel Vaquié, and Gabriele Vezzosi. “Shifted Poisson structures and deformation quantization”. In: J. Topol. 10.2 (2017), pp. 483–584. arXiv: 1506.03699.

[Cha+24]

Claudia Chaio, Alfredo González Chaio, Isabel Pratti, and María José Souto Salorio. “The Auslander-Reiten quiver of the category of \(m\)-periodic complexes”. In: J. Pure Appl. Algebra 228.5 (2024), Paper No. 107569, 23. arXiv: 2304.04844. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2023.107569.

[DK85]

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[DK87]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Three homotopy theories for cyclic modules”. In: Proceedings of the Northwestern conference on cohomology of groups (Evanston, Ill., 1985). Vol. 44. 1-3. 1987, pp. 165–175. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(87)90022-3.

[HJ22]

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[Kap]

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[Kas87]

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[Kho16]

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[KM18]

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[KQ15]

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[Pan+13]

Tony Pantev, Bertrand Toën, Michel Vaquié, and Gabriele Vezzosi. “Shifted symplectic structures”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 117 (2013), pp. 271–328. arXiv: 1111.3209. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10240-013-0054-1.

[Par81]

Bodo Pareigis. “A noncommutative noncocommutative Hopf algebra in “nature””. In: J. Algebra 70.2 (1981), pp. 356–374. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(81)90224-6.

[Pav23]

Emanuele Pavia. “A \(t\)-structure on the \(\infty \)-category of mixed graded modules”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 18.2-3 (2023), pp. 177–218. arXiv: 2207.11994. url: https://doi.org/10.1007/s40062-023-00324-3.

[Pos]

Leonid Positselski. Exact DG-categories and fully faithful triangulated inclusion functors. arXiv: 2110.08237.