Teichuller空間

Riemann 面に関係したことを考えるときには, Teichüller 空間は必ず必要になる。

• Riemann面 の moduli space は, Teichmüller space の mapping class group による商空間
• Teichmüller 空間は Euclid 空間と同相であり, よって可縮

このことから, global qutient である moduli space を orbifold とみなして考えるのは自然である。Harer と Zagier [HZ86] は, その orbifold としての Euler characteristic を計算している。 その Deligne-Mumford compactification については Bini と Harer が [BH11] で求めている。

また Riemann 面の moduli space は mapping class group の分類空間にかなり近いものであることも分かる。 実際, Harer は [Har86] で, 「割る前」の Teichmüller 空間を mapping class group の作用を込めて考え, mapping class group の virtual cohomological dimension の評価を得ている。

Harer は, Teichmüller 空間をうまく単体分割し, その中に mapping class group の作用を持つ subcomplex を構成した。Teichmüller 空間がその subcomplex に equivariant に deformation retract することを示し, moduli 空間のコホモロジーがその subcomplex の次元より上では \(0\) であることを示したのである。

• Harer の構成した subcomplex

この Harer complex については, 日本語の解説 [河野俊97] もある。

Teichmüller 空間の量子化は, Bonahon と Liu [BL07] や Guo と Liu [GL09] によると, Kashaev [Kas98] と Chekhov と Fock [FC99] により独立に発見されたらしい。 Quantum Teichmüller space についてまとめたものとしては, Teschner の [Tes07], Chekhov の lecture note [Che], Guo による survey [Guo14] などがある。

• quantum Teichmüller space
• Kashaev algebra

Guo と Liu の [GL09]は, その2つのアプローチの間の関係を調べようという試みである。

Bonahon は [Bon08] で球面の pure braid group の表現を構成するために用いている。

Fock と Goncharov の [FG07] によると, 他に Teichmüller 空間の変種としては以下のものがある。

• lamination space
• higher Teichmüller space
• 高次元多様体に対する Teichmüller space (Farrell-Ontaneda の [FO09])

Fock と Goncharov は lamination space は Teichmüller space の tropical 化であると言っている。

Le [Le16] や Canary [Can] によると, higher Teichmüller theory は, Hitchin の Higgs bundle を用いた, compact surface の基本群の \(\mathrm {PSL}(n,\R )\) での表現の空間の研究が起源のようである。 Hitchin の解析学的なアイデアを, 組み合せ論的な形に直したのが Fock と Goncharov の [FG09b] であり, 別の dynamical な視点から考えたのが Labourie の [Lab06] のようである。

Fock と Goncharov は higher Teichmüller space の quantization を [FG09a] で考えている。

Farrell と Ontaneda は negatively curved metric の成す空間について [FO10] で調べている。 Waldhausen の algebraic \(K\)-theory of spaces を用いている。

References

[BH11]

Gilberto Bini and John Harer. “Euler characteristics of moduli spaces of curves”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 13.2 (2011), pp. 487–512. arXiv: math/0506083. url: https://doi.org/10.4171/JEMS/259.

[BL07]

Francis Bonahon and Xiaobo Liu. “Representations of the quantum Teichmüller space and invariants of surface diffeomorphisms”. In: Geom. Topol. 11 (2007), pp. 889–937. arXiv: math/0407086. url: https://doi.org/10.2140/gt.2007.11.889.

[Bon08]

Francis Bonahon. “Quantum Teichmüller theory and representations of the pure braid group”. In: Commun. Contemp. Math. 10.suppl. 1 (2008), pp. 913–925. arXiv: 0801 . 4922. url: https://doi.org/10.1142/S0219199708003095.

[Can]

Richard Canary. Hitchin representations of Fuchsian groups. arXiv: 2110.01043.

[Che]

Leonid Chekhov. Lecture Notes on Quantum Teichmuller Theory. arXiv: 0710.2051.

[FC99]

V. V. Fok and L. O. Chekhov. “Quantum Teichmüller spaces”. In: Teoret. Mat. Fiz. 120.3 (1999), pp. 511–528. arXiv: math/9908165. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02557246.

[FG07]

Vladimir V. Fock and Alexander B. Goncharov. “Dual Teichmüller and lamination spaces”. In: Handbook of Teichmüller theory. Vol. I. Vol. 11. IRMA Lect. Math. Theor. Phys. Eur. Math. Soc., Zürich, 2007, pp. 647–684. arXiv: math / 0510312. url: http://dx.doi.org/10.4171/029-1/16.

[FG09a]

V. V. Fock and A. B. Goncharov. “The quantum dilogarithm and representations of quantum cluster varieties”. In: Invent. Math. 175.2 (2009), pp. 223–286. arXiv: math / 0702397. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-008-0149-3.

[FG09b]

Vladimir V. Fock and Alexander B. Goncharov. “Cluster ensembles, quantization and the dilogarithm”. In: Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 42.6 (2009), pp. 865–930. arXiv: math/0311245. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4745-2_15.

[FO09]

F. Thomas Farrell and Pedro Ontaneda. “The Teichmüller space of pinched negatively curved metrics on a hyperbolic manifold is not contractible”. In: Ann. of Math. (2) 170.1 (2009), pp. 45–65. arXiv: math / 0406132. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2009.170.45.

[FO10]

F. Thomas Farrell and Pedro Ontaneda. “On the topology of the space of negatively curved metrics”. In: J. Differential Geom. 86.2 (2010), pp. 273–301. arXiv: math / 0607367. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1299766789.

[GL09]

Ren Guo and Xiaobo Liu. “Quantum Teichmüller space and Kashaev algebra”. In: Algebr. Geom. Topol. 9.3 (2009), pp. 1791–1824. arXiv: 0905.0895. url: https://doi.org/10.2140/agt.2009.9.1791.

[Guo14]

Ren Guo. “A survey of quantum Teichmüller space and Kashaev algebra”. In: Handbook of Teichmüller theory. Vol. IV. Vol. 19. IRMA Lect. Math. Theor. Phys. Eur. Math. Soc., Zürich, 2014, pp. 759–784. arXiv: 1107.5069. url: https://doi.org/10.4171/117-1/18.

[Har86]

John L. Harer. “The virtual cohomological dimension of the mapping class group of an orientable surface”. In: Invent. Math. 84.1 (1986), pp. 157–176. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01388737.

[HZ86]

J. Harer and D. Zagier. “The Euler characteristic of the moduli space of curves”. In: Invent. Math. 85.3 (1986), pp. 457–485. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01390325.

[Kas98]

R. M. Kashaev. “Quantization of Teichmüller spaces and the quantum dilogarithm”. In: Lett. Math. Phys. 43.2 (1998), pp. 105–115. arXiv: q-alg/ 9705021. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1007460128279.

[Lab06]

François Labourie. “Anosov flows, surface groups and curves in projective space”. In: Invent. Math. 165.1 (2006), pp. 51–114. arXiv: math/0401230. url: https://doi.org/10.1007/s00222-005-0487-3.

[Le16]

Ian Le. “Higher laminations and affine buildings”. In: Geom. Topol. 20.3 (2016), pp. 1673–1735. arXiv: 1209 . 0812. url: https://doi.org/10.2140/gt.2016.20.1673.

[Tes07]

Jörg Teschner. “An analog of a modular functor from quantized Teichmüller theory”. In: Handbook of Teichmüller theory. Vol. I. Vol. 11. IRMA Lect. Math. Theor. Phys. Eur. Math. Soc., Zürich, 2007, pp. 685–760. arXiv: math / 0510174. url: http://dx.doi.org/10.4171/029-1/17.

[河野俊97]

河野俊丈. 曲面の幾何構造とモジュライ. 東京: 日本評論社, 1997.