Umbral Calculus

Formal power series は, 代数的トポロジーでも重要な道具である。 例えば, complex oriented cohomology theory に付随する formal group law として現れる。

その辺のことを勉強しているときに, Ray の [Ray87] で umbral calculus というものを知った。 Umbral calculus が何であるかを知るには, Di Bucchianico と Loeb の survey [DL95] を見るのが手っ取り早い, と思う。 本文自体は 9ページしかないが, 506もの文献を挙げているので34ページになっている。

それによると, umbral calculus とは単項式 \(x^0,x^1,\ldots , x^n,\ldots \) と似た性質を持つ多項式の列 \(p_{0},p_{1},\ldots , p_{n},\ldots \) の研究である。

例えば, \((x)_{n}=x(x-1)\cdots (x-n+1)\) については, 2項係数の類似や, Taylor 展開の類似が成り立つことが知られている。ただし, Taylor 展開では微分 \(\frac{d}{dx}\) を forward difference operator \((\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\) に変えないといけないが。

他に, 最初に読む文献としては, Roman の本 [Rom84] や Roman と Rota の [RR78] などがある。

基本的に formal power series と関係していることは, umbral calculus が使えると思ってよいようである。 Di Bucchianico と Loeb の survey [DL95] には次のような応用が挙げられている。

• Lagrange inversion (Mullin と Rota の [MR70] など)
• symmetric function (Loeb の [Loe90])
• lattice path counting (Niederhausen の仕事など)
• species (William Chen の [Che93] や Senato らの [SVY97])
• グラフの chromatic polynomial (Ray らの [Ray88; RW88] など)
• coalgebraや Hopf algebra (Joni と Rota の [JR79] や Nichols と Sweedler の [NS82] など)
• 代数的トポロジー (Ray の [Ray87] など)
• 微分方程式 (Cholewinski の [Cho88])
• orthogonal polynomial (Meixner の [Mei34] や Kholodov の [Kho90])
• hypergeometric function (Ueno の [Uen88; Uen90] など)
• 物理 (Wilson と Rogers の [WR86])

他にも numerical analysis, 統計, 確率論, invariant theory などへの応用もあるらしい。

また, 彼等の survey に載っていないこととして次のようなものもある。

• vertex operator algebra (Robinson の [Rob10])

一般化や変種も Di Bucchianico と Loeb の survey に書かれている。

• Sheffer polynomial から generalized Appell polynomial (Boas-Buck polynomial) への拡張 (Viskov の [Vis75])
• entire function への拡張 (Grabiner の [Gra88; Gra89])
• 多変数, そして無限変数への拡張 (Di Bucchianico, Loeb, Rota の [DLR98])
• \(x^{-1}\) や \(\log x\) を含む場合への拡張 (Loeb の [Loe89; LR89; Loe91])
• 多項式環上の linear operator への拡張 (Kurbanov と Maksimov の [KM86])
• 正標数への拡張 (Van Hamme の [Van92] や Verdoodt [Ver96; Ver98])

References

[Che93]

William Y. C. Chen. “The theory of compositionals”. In: Discrete Math. 122.1-3 (1993), pp. 59–87. url: https://doi.org/10.1016/0012-365X(93)90287-4.

[Cho88]

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[DL95]

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[DLR98]

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