Simplicial Space

Simplicial space とは, 「空間」の圏における simplicial object である。 問題は空間として何を想定しているかであるが, 普通は位相空間か simplicial set である。 特に, simplicial なテクニックを用いている文献では, simplicial spaceとは, bisimplicial set を意味することが多い。

Simplicial space についてまとめて書かれたものは見当らない。Simplicial space を使っている文献に, 補足説明として書かれているものは結構あるが。 例えば, May の [May72] の§11など。 別の視点から書かれたものとしては, Deligne の [Del74] の §5 と §6 がある。Bernstein と Lunts の [BL94] で参照されている。

例としては, Deligne の §6 に書かれているように, 次の2つが代表的だろう。

• 群や小圏の分類空間
• hypercover

Simplicial space に対してまず知っておくべきこととしては, 幾何学的実現がある。 Simplicial set も discrete な simplicial space と思えば, simplicial space に対する幾何学的実現だけ理解しておけばよい。

• 幾何学的実現

幾何学的実現には, degeneracy を考えない fat realization もある。 Fat realization には, 色々利点があるので, simplicial space から degeneracy を除いたものもよく使われる。 かつては, \(\Delta \)-space と呼ばれていたが, 最近では semisimplicial space と呼ばれることが多くなったように思う。

• \(\Delta \)-space or semisimplicial space

Simplicial space \(X_{\bullet }\) の各空間 \(X_n\) について, degeneracy による filtration があるが, その filtration は, \(1\)回 suspension すると分解することが, Adem ら [Ade+09] によって示されている。

• Adem-Bahri-Cohen-Gitler-Bendersky の分解

ホモトピー論では, モデル圏の構造を理解することが, 必要になる。Simplicial space の圏のモデル構造には, いくつかの選択肢がある。

• Simplicial space の圏の Reedy model structure

Rezk は, [Rez01] で, [モデル圏]の成すモデル圏を考えるために Segal space の概念を導入した。これは, Reedy fibrant な simplicial space で, ある条件をみたすものである。

• Segal space

これは \((\infty ,1)\)-category のモデルとして用いられるが, 同様の目的で使われる Segal category も simplicial space の一種である。

• Segal category

References

[Ade+09]

A. Adem, A. Bahri, M. Bendersky, F. R. Cohen, and S. Gitler. “On decomposing suspensions of simplicial spaces”. In: Bol. Soc. Mat. Mexicana (3) 15.1 (2009), pp. 91–102. arXiv: 0904.4699.

[BL94]

Joseph Bernstein and Valery Lunts. Equivariant sheaves and functors. Vol. 1578. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1994, pp. iv+139. isbn: 3-540-58071-9.

[Del74]

Pierre Deligne. “Théorie de Hodge. III”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 44 (1974), pp. 5–77.

[May72]

J. P. May. The geometry of iterated loop spaces. Lectures Notes in Mathematics, Vol. 271. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. viii+175.

[Rez01]

Charles Rezk. “A model for the homotopy theory of homotopy theory”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 353.3 (2001), 973–1007 (electronic). arXiv: math/9811037. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-00-02653-2.