代数曲線や Riemann 面の moduli

Riemann 面や代数曲線の moduli は, 様々な分野と関連している。 数理物理との関連も重要である。教科書としては, Harris と Morrison の本 [HM98] がある。 楕円曲線の moduli space については, Hain の講義ノート [Hai11] がある。

Kimura, Stasheff, Voronov の [KSV95] で示されているように, 適当な compactification が operad の構造を持つ場合もある。

• moduli 空間の成す operad

Riemann 面の moduli space の胞体分割については, Salvatore の [Sal22] では Mondello の [Mon09] が参照されている。 そこに書かれているのは, Harer, Penner, Thurston による quadratic differential や hyperbolic metric を用いたものであるが, Salvatore によると別のアプローチとして meromorphic differential を用いた Giddings と Wolpert のもの [GW87] があり, 異なる胞体分割を与えるようである。

Riemann 面の moduli 空間については, まず Teichmüller空間 は知っておくべきだろう。

• Teichmüller 空間

代数曲線の moduli 空間の compactification として有名なのは, Deligne-Mumford compactification [DM69] である。種数 \(0\) の \(n\) 点のマークを持つ代数曲線の moduli 空間の Deligne-Mumford compactification \(\overline {\mathcal {M}_{0,n}}\) は, かなりよく研究されている。

• その complex point \(\overline {\mathcal {M}_{0,n}}(\bbC )\) の singular cohomology の計算と Chow ring と同型になること (Keel [Kee92])
• その real point \(\overline {\mathcal {M}_{0,n}}(\R )\) が \(K(\pi ,1)\) であることと, その基本群 (pure cactus group と呼ばれる) の決定 (Davis と Januszkiewicz と Scott [DJS03])
• \(\overline {\mathcal {M}_{0,n}}(\R )\) の胞体分割 (Kapranov [Kap93] と Devadoss [Dev99])
• \(\{\overline {\mathcal {M}_{0,n}}(\R )\}_n\) が operad (mosaic operad と呼ばれる) になること (Devadoss [Dev99])
• \(\overline {\mathcal {M}_{0,n}}(\R )\) の rational cohomology (Etingof と Henriques と Kamnitzer と Rains [Eti+10])
• \(\overline {\mathcal {M}_{0,n}}(\R )\) の modulo \(2\)-torsion homology (Rains の [Rai10])

\(\overline {\mathcal {M}_{0,n}}(\R )\) が \(\bbC \) 内の \(n-1\) 個の点の configuration space と良く似ていることは, 何人もの人が指摘している。例えば, Devadoss [Dev99], Morava [Mor], Henriques と Kamnitzer [HK06], Etingof と Henriques と Kamnitzer と Rains [Eti+10] など。Armstrong らの [Arm+09] によると, 最初に braid arrangement との関係に気が付いたのは, Kapranov [Kap93] らしい。

Rains の [Rai10] は, De Concini と Procesi の subspace arrangement の complement の wonderful model を用いている点で興味深い。

この analogy の下で, \(\Gamma _n = \pi _1(\overline {\mathcal {M}_{0,n}}(\R ))\) は, pure braid group に対応するため, pure cactus group と呼ばれる。もちろん braid group に対応する cactus group \(J_n\) という群もあり, 短完全列 \[ 1 \longrightarrow \Gamma _n \longrightarrow J_n \longrightarrow \Sigma _n \longrightarrow 1 \] もある。

Henriques [Hen] は, cactus group の Fock と Goncharov が [FG06] で定義した空間への作用を定義している。

Devadoss と Morava [DM] は, 対称行列の成す空間との関係を考え, 対称行列の成す空間の blow-up を構成している。

\(\cM _{0,n}\) の一般化としては, Arkani-Hamed と He と Lam [AHL21] の Dynkin diagram \(D\) から定義される cluster configration space \(\cM _{D}\) もある。\(D=A_{n-3}\) のとき \(\cM _{D}=\cM _{0,n}\) となる。Cluster algebra との関係から cluster configuration space と呼ばれているようである。

• cluster configuration space

一般の genus の moduli space \(\mathcal {M}_{g,n}\) の研究としては, Kontsevich [Kon92; Kon93; Kon94] (とWitten [Wit91]) のものがある。Hamilton の [Ham10] の Introduction が分かりやすい。また Charney と Lee の [CL84] もある。

• \(\mathcal {M}_{g,n}\) は, ribbon graph で index された orbi-cell complex の構造を持つ
• \(\mathcal {M}_{g,n}\) のホモロジーは, ある種の differential graded Lie algebra の Chevalley-Eilenberg homology と同型になる
• Kontsevich による \(\mathcal {M}_{g,n}\) の compactification [Kon92]
• \(\mathcal {M}_{g,n}\) の Kontsevich compactification の homology についての Kontsevich の結果の類似 [Ham10]
• Charney-Lee の category [CL84]
• Charney-Lee の category の分類空間は, Deligne-Mumford compactification と homotopy同値 ([EG08])

Kontsevich は [Kon92] で, moduli space の二つの体積の比を計算している。その値は [CMS] で Kontsevich constant と呼ばれている。 また, Kontsevich は, ribbon graph の moduli space との関係を用いている。

Moduli space の体積については, recursion formula が得られている。 Mirzakhani の [Mir07a; Mir07b]や Eynard と Orantin の [EO07; EO] など。Mulase と Safnuk の [MS08] にも解説がある。また ribbon graph の moduli space を用いても recursion formula が得られる。Chapman, Mulase, Safnuk の [CMS] を見るとよい。また, quantum gravity からの motivation, よって KdV hierarchy などとの関係については, Kontsevich の [Kon92] の §1 が分かりやすい。

Grothendieck によると, moduli space は groupoid, あるいは stack と見るのが正しいらしい。 対象となる空間達を object とし, その間の isomorphism を morphism とする groupoid である。 Ebert と Giansiracusa は, [EG11] で stack に対し Pontrjagin-Thom construction と呼ぶべき構成を定義し, stable curve の moduli stack のホモロジーを調べている。

ホモトピー論への応用としては, elliptic curve の上の moduli stack の chromatic stable homotopy theory への応用がある。Behrens は [Beh06] で \(p=3\) での \(K(2)\)-localized sphere を調べるために用いている。

異なる moduli space の構成としては, Losev と Manin [LM00] による \(\overline {\cL }_{n}\) がある。 Clader らの [Cla+] によると, 種数 \(0\) の stable curve の moduli space \(\overline {\cM }_{0,n}\) は toric variety に近い性質を持つようであるが, Losev-Manin moduli space は toric variety になる。Toric variety と言えば凸多面体であるが, Losev-Manin moduli space に対応した多面体は permutohedron である。 Clader らは, その一般化を導入している。

References

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