微分幾何学

最近様々な分野の境界が曖昧になってきて, 古い分類が通用しなくなってきている。 微分幾何学はトポロジーに比べ歴史ある伝統的な分野と言えるが, 数理物理学の影響を受けて近年大きく変貌した分野でもある。 代数幾何学やトポロジーの手法も取り入れられている。

まずは可微分多様体の定義であるが, 大ざっぱに言えば「位相多様体\(+\)微分構造」である。ただ, その「微分構造」 のイメージが掴みにくい。いわゆる exotic な微分構造の例を知っているといいかもしれない。

• 可微分多様体とその微分構造の定義
• Milnor の exotic \(S^7\) [Mil56]
• exotic \(\R ^4\)

各次元の exotic sphere の個数は, Kervaire と Milnor が [KM63] で調べている。Exotic \(\R ^4\) の存在は Donaldson の結果 [Don83] と Freedman の結果 [Fre82] を合わせることにより示される。 その数は非可算個あることが知られている。しかもそれらは standard \(\R ^4\) に埋め込むことができるということが, De Michelis と Freedman [DF92] により示されている。

微分幾何をやるためには, もちろん Riemann多様体の基本を知っておくべきである。

• 可微分多様体の Riemann 計量 (Riemannian metric)
• 接続
• 曲率

これらは全て, 多様体の tangent bundle や cotangent bundle などのファイバー束の言葉で表わせる。 そのようなことについては, 私が学生の頃から, Kobayashi と Nomizu の本 [KN96a; KN96b] が参照されている。 もっと新しいものには, どのようような本があるのだろう。

測地線 (geodesic) を用いると, systole という不変量が定義できる。

• geodesic
• systole

これについては, M. Katz の本 [Kat07] がある。Katz と Rudyak [KR] は, systole を用いて systolic category という Lusternik-Schnierelmann category と関係の深い不変量を定義した。

• sectional curvature

Sectional curvature が \(0\) になる多様体を flat manifold という。

• flat manifold は, \(\R ^n\) の isometry group の discrete, torsion free, cocompact subgroup \(\Gamma \) を用いて, \(\R ^n/\Gamma \) の形に表わせる。 [Wol84]
• Bieberbach group

Flat manifold と Bieberbach group に関する問題や予想について [Szc] にまとめられている。解説としては [Cha86] という本がある。

Heisenberg manifold のように, 多様体と tangent bundle の subbundle の組で指定する構造もある。

• Heisenberg manifold

Heisenberg manifold の定義は, Ponge の [Pon] に書いてある。 Contact 多様体, codimension \(1\) の foliation, confoliation, CR 多様体, Heisenberg group などを含むらしい。Ponge は, Heisenberg manifold の tangent groupoid を定義している。

曲率などを, bundle の言葉ではなく, sheaf を用いて表わすという流儀もある。Sheaf の圏をより一般的な圏, 例えば, operad 上の algebra 上の module の圏に置き換えてやる, という試みを Nieper-Wißkirchen という人がやっている。[Nie]

Sheaf と言えば代数幾何であるが, Grothendieck 流の代数幾何の手法を微分幾何に流用しようという試みを synthetic differential geometry と呼ぶらしい。 Kock の [Koc81] や Moerdijk と Reyes の [MR91] という本がある。

• synthetic differential geometry

Kock は [Koc82; Koc96] などで group-valued combinatorial differential form の理論を構築した。Breen と Messing が [BM01] でそれを拡張している。 Schlegel の [Sch] では, synthetic differential geometry の “premier model” として Dubuc の [Dub79] が参照されている。

圏論の言葉を用いたものとしては, Schreiber などが考えている higher category を用いたものもある。

• higher differential geometry

Discrete differential geometry と言って, 微分幾何的手法で組み合せ論的なデータを扱う研究もある。 [BS] という本もある。例えば, グラフと可微分多様体はかなりよく似ているらしい。 グラフの zeta 関数に対し, Selberg zeta 関数がある。

実数体 \(\R \) の代りに, 一般の topological field 上の多様体を定義し, 微分幾何を行なうという試み [Ber08] もある。

References

[Ber08]

Wolfgang Bertram. “Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces over general base fields and rings”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 192.900 (2008), pp. x+202. arXiv: math/0502168. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0900.

[BM01]

Lawrence Breen and William Messing. “Combinatorial differential forms”. In: Adv. Math. 164.2 (2001), pp. 203–282. arXiv: math/0005087. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.2001.2013.

[BS]

Alexander I. Bobenko and Yuri B. Suris. Discrete differential geometry. Consistency as integrability. arXiv: math/0504358.

[Cha86]

Leonard S. Charlap. Bieberbach groups and flat manifolds. Universitext. Springer-Verlag, New York, 1986, pp. xiv+242. isbn: 0-387-96395-2. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4613-8687-2.

[DF92]

Stefano De Michelis and Michael H. Freedman. “Uncountably many exotic \(\R ^4\)’s in standard \(4\)-space”. In: J. Differential Geom. 35.1 (1992), pp. 219–254. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214447810.

[Don83]

S. K. Donaldson. “An application of gauge theory to four-dimensional topology”. In: J. Differential Geom. 18.2 (1983), pp. 279–315. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214437665.

[Dub79]

Eduardo J. Dubuc. “Sur les modèles de la géométrie différentielle synthétique”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle 20.3 (1979), pp. 231–279.

[Fre82]

Michael Hartley Freedman. “The topology of four-dimensional manifolds”. In: J. Differential Geom. 17.3 (1982), pp. 357–453. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214437136.

[Kat07]

Mikhail G. Katz. Systolic geometry and topology. Vol. 137. Mathematical Surveys and Monographs. With an appendix by Jake P. Solomon. Providence, RI: American Mathematical Society, 2007, pp. xiv+222. isbn: 978-0-8218-4177-8.

[KM63]

Michel A. Kervaire and John W. Milnor. “Groups of homotopy spheres. I”. In: Ann. of Math. (2) 77 (1963), pp. 504–537.

[KN96a]

Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu. Foundations of differential geometry. Vol. I. Wiley Classics Library. Reprint of the 1963 original, A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1996, pp. xii+329. isbn: 0-471-15733-3.

[KN96b]

Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu. Foundations of differential geometry. Vol. II. Wiley Classics Library. Reprint of the 1969 original, A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1996, pp. xvi+468. isbn: 0-471-15732-5.

[Koc81]

Anders Kock. Synthetic differential geometry. Vol. 51. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, Cambridge-New York, 1981, pp. vi+311. isbn: 0-521-24138-3.

[Koc82]

Anders Kock. “Differential forms with values in groups”. In: Bull. Austral. Math. Soc. 25.3 (1982), pp. 357–386. url: https://doi.org/10.1017/S0004972700005426.

[Koc96]

Anders Kock. “Combinatorics of curvature, and the Bianchi identity”. In: Theory Appl. Categ. 2 (1996), No. 7, 69–89.

[KR]

Mikhail G. Katz and Yuli B. Rudyak. Lusternik-Schnirelmann category and systolic category of low dimensional manifolds. arXiv: math/0410456.

[Mil56]

John Milnor. “On manifolds homeomorphic to the \(7\)-sphere”. In: Ann. of Math. (2) 64 (1956), pp. 399–405. url: https://doi.org/10.2307/1969983.

[MR91]

Ieke Moerdijk and Gonzalo E. Reyes. Models for smooth infinitesimal analysis. New York: Springer-Verlag, 1991, pp. x+399. isbn: 0-387-97489-X.

[Nie]

Marc A. Nieper-Wißkirchen. Operads and Jet modules. arXiv: math/0508074.

[Pon]

Raphael Ponge. The tangent groupoid of a Heisenberg manifold. arXiv: math/0404174.

[Sch]

Vincent S. Schlegel. Gluing Manifolds in the Cahiers Topos. arXiv: 1503.07408.

[Szc]

Andrzej Szczepanski. Problems on Bieberbach groups and flat manifolds. arXiv: math/0507355.

[Wol84]

Joseph A. Wolf. Spaces of constant curvature. Fifth. Publish or Perish, Inc., Houston, TX, 1984, pp. xviii+412. isbn: 0-914098-07-1.