Formal Power Series

Formal power series は, 代数的トポロジーでは, complex oriented cohomology theory に関する formal group law として現れる。

• formal group law

そのため, 安定ホモトピー論の初歩を学ぶ際には, ある程度 formal power series の計算に慣れ親しんでいる必要がある。 例えば, formal group law \(F(x,y)\) に対し \(F(x,i(x))=0\) となる formal power series \(i(x)\) が存在することなど。

これは, \(F(x,y)\) という加法の一般化に対する逆元の存在であるが, 1変数 formal power series の合成に関する逆元は, Lagrange inversion という。Buchstaber と Veselov の [BV] によると 1770年の Lagrange の論文に登場しているらしい。

• Lagrange inversion

Lagrange inversion については, まず Gessel の survey [Ges16] がある。Stanley の本 [Sta99] の §5.4 にも書かれている。

\(n\)-Category Café での Baez の blog post で, Catalan 数の一般化を述べるために使われている。 その comment の一つで, Aguiar と Ardilla の generalizied associahedron に関する [AA23] が紹介されている。 この associahedron との関係は, Loday により [Lod05] で発見されたようである。Aguiar と Ardila は, 積に関する逆元の公式と permutohedron との関係も含めて述べている。

一般化としては, 以下のようなものがある。

• Lagrange inversion の多変数版 [Ges87]
• Lagrange inversion の \(q\)-analogue [Gar81]
• noncommutative Lagrange inversion [Ges80]
• Lagrange inversion for species [GL95]

Formal power series 全般については, Hardy の [Har92] を読んでみると面白いかもしれない。これは web 上で閲覧することができる。 最近のものでは, Sambale の [Sam23] がある。 Wilf の [Wil06] もある。第2版は, link の入ったものが 著者の website から download できる。

• generating function

この手のことは, Leinster 流の small category の Euler 標数などでも必要となる。

References

[AA23]

Marcelo Aguiar and Federico Ardila. “Hopf Monoids and Generalized Permutahedra”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 289.1437 (2023), pp. vi+119. arXiv: 1709.07504. url: https://doi.org/10.1090/memo/1437.

[BV]

Victor M. Buchstaber and Alexander P. Veselov. Algebraic topology of the Lagrange inversion. arXiv: 2601.06814.

[Gar81]

Adriano M. Garsia. “A \(q\)-analogue of the Lagrange inversion formula”. In: Houston J. Math. 7.2 (1981), pp. 205–237.

[Ges16]

Ira M. Gessel. “Lagrange inversion”. In: J. Combin. Theory Ser. A 144 (2016), pp. 212–249. arXiv: 1609.05988. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2016.06.018.

[Ges80]

Ira Gessel. “A noncommutative generalization and \(q\)-analog of the Lagrange inversion formula”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 257.2 (1980), pp. 455–482. url: https://doi.org/10.2307/1998307.

[Ges87]

Ira M. Gessel. “A combinatorial proof of the multivariable Lagrange inversion formula”. In: J. Combin. Theory Ser. A 45.2 (1987), pp. 178–195. url: https://doi.org/10.1016/0097-3165(87)90013-6.

[GL95]

Ira M. Gessel and Gilbert Labelle. “Lagrange inversion for species”. In: J. Combin. Theory Ser. A 72.1 (1995), pp. 95–117. url: https://doi.org/10.1016/0097-3165(95)90030-6.

[Har92]

G. H. Hardy. Divergent series. With a preface by J. E. Littlewood and a note by L. S. Bosanquet, Reprint of the revised (1963) edition. Sceaux: Éditions Jacques Gabay, 1992, pp. xvi+396. isbn: 2-87647-131-0. url: http://www.archive.org/details/divergentseries033523mbp.

[Lod05]

Jean-Louis Loday. “The multiple facets of the associahedron”. In: 2005. url: https://www.claymath.org/library/academy/LectureNotes05/Lodaypaper.pdf.

[Sam23]

Benjamin Sambale. “An invitation to formal power series”. In: Jahresber. Dtsch. Math.-Ver. 125.1 (2023), pp. 3–69. arXiv: 2205.00879. url: https://doi.org/10.1365/s13291-022-00256-6.

[Sta99]

Richard P. Stanley. Enumerative combinatorics. Vol. 2. Vol. 62. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. With a foreword by Gian-Carlo Rota and appendix 1 by Sergey Fomin. Cambridge: Cambridge University Press, 1999, pp. xii+581. isbn: 0-521-56069-1; 0-521-78987-7. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511609589.

[Wil06]

Herbert S. Wilf. generatingfunctionology. Third. Wellesley, MA: A K Peters Ltd., 2006, pp. x+245. isbn: 978-1-56881-279-3; 1-56881-279-5.