Formal Power Series

Formal power series は, 代数的トポロジーでは, complex oriented cohomology theory に関する formal group law として現れる。

• formal group law

そのため, 安定ホモトピー論の初歩を学ぶ際には, ある程度 formal power series の計算に慣れ親しんでいる必要がある。 例えば, formal group law \(F(x,y)\) に対し \(F(x,i(x))=0\) となる formal power series \(i(x)\) が存在することなど。

これは, \(F(x,y)\) という加法の一般化に対する逆元の存在であるが, 1変数 formal power series の合成に関する逆元の存在は Lagrange inversion という。

• Lagrange inversion

Lagrange inversion については, \(n\)-Category Café での Baez の blog post で, Catalan 数の一般化を述べるために使われている。 その comment の一つで, Aguiar と Ardilla の generalizied associahedron に関する [AA23] が紹介されている。その中の section 11.2 で associahedron の面を用いて述べられていて, 興味深い。

Formal power series については, Hardy の [Har92] を読んでみると面白いかもしれない。これは web 上で閲覧することができる。 最近のものでは, Sambale の [Sam23] がある。 Wilf の [Wil06] もある。第2版は, link の入ったものが 著者の website から download できる。

• generating function

この手のことは, Leinster 流の small category の Euler 標数などでも必要となる。

References

[AA23]

Marcelo Aguiar and Federico Ardila. “Hopf Monoids and Generalized Permutahedra”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 289.1437 (2023), pp. vi+119. arXiv: 1709.07504. url: https://doi.org/10.1090/memo/1437.

[Har92]

G. H. Hardy. Divergent series. With a preface by J. E. Littlewood and a note by L. S. Bosanquet, Reprint of the revised (1963) edition. Sceaux: Éditions Jacques Gabay, 1992, pp. xvi+396. isbn: 2-87647-131-0. url: http://www.archive.org/details/divergentseries033523mbp.

[Sam23]

Benjamin Sambale. “An invitation to formal power series”. In: Jahresber. Dtsch. Math.-Ver. 125.1 (2023), pp. 3–69. arXiv: 2205.00879. url: https://doi.org/10.1365/s13291-022-00256-6.

[Wil06]

Herbert S. Wilf. generatingfunctionology. Third. Wellesley, MA: A K Peters Ltd., 2006, pp. x+245. isbn: 978-1-56881-279-3; 1-56881-279-5.