Foliation

葉層構造 (foliation) も微分トポロジーの中で大きな位置を占めている分野である。 Nikolaev の [Nik] では, 解説としては, Lawson の [Law74] が挙げてある。 S. Hurder による foliation の分類についての survey [Hur09] もある。

代数的トポロジーとの関連では, その分類空間の構成がある。 Segal の [Seg78] など。分類空間といえば特性類であるが, もちろん foliation の特性類もある。 コホモロジーとしては, 例えば Reinhart [Rei59] の定義した, basic cohomology がある。その intersection 版である basic intersection homology も定義されている。

• basic cohomoloy
• basic intersection cohomology [SW]

Hyperplane arrangement の complement の cohomology から定義される代数多様体として resonance variety というものがあるが, そこから foliation の族である web という構造を定義しているのは Pereira [Per12] である。Pereira と Pirio は “An Invitation to Web Geometry” という本 [PP09] を書いているが, その Introduction に歴史的なことがまとめられて, web geometry の概要をつかむのによい。

• web geometry

Foliation に対し, (非可換) \(C^*\)-algebra を定義したのは, Connes である。それ以降, foliation は非可換 \(C^*\)-algebra, つまり非可換幾何の枠組みで捉えることができるようになった。

Stratified space の場合は, Banagl [Ban16] により stratified foliation が定義されている。

• stratified foliation

一般化(?)としては, Toën と Vezzosi が一連の論文 [TV23; TVb; TVc; TVa; TVd] で調べている derived (algebraic) geometry での foliation がある。

• derived foliation

References

[Ban16]

Markus Banagl. “Foliated stratified spaces and a de Rham complex describing intersection space cohomology”. In: J. Differential Geom. 104.1 (2016), pp. 1–58. arXiv: 1102.4781. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1473186538.

[Hur09]

Steven Hurder. “Classifying foliations”. In: Foliations, geometry, and topology. Vol. 498. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009, pp. 1–65. arXiv: 0804 . 1240. url: https://doi.org/10.1090/conm/498/09741.

[Law74]

H. Blaine Lawson Jr. “Foliations”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 80 (1974), pp. 369–418. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1974-13432-4.

[Nik]

Igor Nikolaev. Ordered abelian groups over a CW complex. arXiv: math/0104085.

[Per12]

Jorge Vitório Pereira. “Resonance webs of hyperplane arrangements”. In: Arrangements of hyperplanes—Sapporo 2009. Vol. 62. Adv. Stud. Pure Math. Math. Soc. Japan, Tokyo, 2012, pp. 261–291. arXiv: 1004.0122.

[PP09]

Jorge Vitório Pereira and Luc Pirio. An invitation to web geometry. Publicações Matemáticas do IMPA. [IMPA Mathematical Publications]. From Abel’s addition theorem to the algebraization of codimension one webs, \(27^{\mathrm {o}}\) Colóquio Brasileiro de Matemática. [27th Brazilian Mathematics Colloquium]. Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro, 2009, pp. xii+245. isbn: 978-85-244-0291-3.

[Rei59]

Bruce L. Reinhart. “Foliated manifolds with bundle-like metrics”. In: Ann. of Math. (2) 69 (1959), pp. 119–132. url: https://doi.org/10.2307/1970097.

[Seg78]

Graeme Segal. “Classifying spaces related to foliations”. In: Topology 17.4 (1978), pp. 367–382. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(78)90004-6.

[SW]

M. Saralegi-Aranguren and R. Wolak. The BIC of a conial fibration. arXiv: math/0202013.

[TVa]

Bertrand Toen and Gabriele Vezzosi. Analytic and algebraic integrability of quasi-smooth derived foliations. arXiv: 2305.08212.

[TVb]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. Algebraic foliations and derived geometry II: the Grothendieck-Riemann-Roch theorem. arXiv: 2007. 09251.

[TVc]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. Foliations and stable maps. arXiv: 2202.09174.

[TVd]

Betrand Toën and Gabriele Vezzosi. Infinitesimal derived foliations. arXiv: 2305.13010.

[TV23]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “Algebraic foliations and derived geometry: the Riemann-Hilbert correspondence”. In: Selecta Math. (N.S.) 29.1 (2023), Paper No. 5, 47. arXiv: 2001 . 05450. url: https://doi.org/10.1007/s00029-022-00808-9.