グラフとRiemann面や代数曲線

グラフとRiemann面の関係 として, まずグラフやquiverのRiemann面への埋め込みが ある。つまりRiemann面の上に描かれたグラフや quiver である。Quiver の場合は Grothendieck に従って dessin d’enfant と呼んだりするようである。

• 曲面上のgraphやquiver

Riemann面上に描かれたグラフや quiver がどういうことに関連しているかについ ては, 例えば, Stienstra の [Sti] の Introduction をみるとよいかもしれない。 Ribbon graph との関係については, Chmutov の[Chm09] やそこに挙げられている文献をみるとよい。

もう一つの関係として, グラフを代数曲線のdiscrete modelとみなすというア イデアがある。誰が最初に気がついたのかわからないが, 様々な人がこの類似 を追求している。例えば, 次のようなことが得られている。

• finite graphのRiemann-Rochの定理 [BN07]
• Jacobian variety や Albanese variety の類似 [KS00; CV]

Baker と Norine は, 更に[BN] でグラフの間の harmonic morphism [Ura00]と Riemann面の間の holomorphic map の類似を調べている。

CaporasoとVivianiの[CV]にも書かれているように, グラフと Riemann面の関係は更にグラフの辺に重みを付けたもの, つまり tropical curve (metric graph) や edge-weighted graph への拡張がある。例えば, BakerとNorine の Riemann-Roch の定理の拡張 は[GK] や[JM] で得られている。

References

[BN]

Matthew Baker and Serguei Norine. Harmonic morphisms and hyperelliptic graphs. arXiv: 0707.1309.

[BN07]

Matthew Baker and Serguei Norine. “Riemann-Roch and Abel-Jacobi theory on a finite graph”. In: Adv. Math. 215.2 (2007), pp. 766–788. arXiv: math/0608360. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.04.012.

[Chm09]

Sergei Chmutov. “Generalized duality for graphs on surfaces and the signed Bollobás-Riordan polynomial”. In: J. Combin. Theory Ser. B 99.3 (2009), pp. 617–638. arXiv: 0711.3490. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jctb.2008.09.007.

[CV]

Lucia Caporaso and Filippo Viviani. Torelli theorem for graphs and tropical curves. arXiv: 0901.1389.

[GK]

Andreas Gathmann and Michael Kerber. A Riemann-Roch theorem in tropical geometry. arXiv: math/0612129.

[JM]

Rodney James and Rick Miranda. A Riemann-Roch theorem for edge-weighted graphs. arXiv: 0908.1197.

[KS00]

Motoko Kotani and Toshikazu Sunada. “Jacobian tori associated with a finite graph and its abelian covering graphs”. In: Adv. in Appl. Math. 24.2 (2000), pp. 89–110. url: http://dx.doi.org/10.1006/aama.1999.0672.

[Sti]

Jan Stienstra. Hypergeometric Systems in two Variables, Quivers, Dimers and Dessins d’Enfants. arXiv: 0711.0464.

[Ura00]

Hajime Urakawa. “A discrete analogue of the harmonic morphism and Green kernel comparison theorems”. In: Glasg. Math. J. 42.3 (2000), pp. 319–334. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0017089500030019.