多様体の一般化

一般化とは, ある性質に着目しそれ以外の性質を忘れることである, と私は思っている。 有限次元の 多様体の性質で重要なものには, 例えば, 以下のものがある。

1. 局所的にEuclid空間と同相, つまり Euclid空間を貼り合せてできている。
2. Poincaré duality を持つ。
3. Euclid空間に埋め込め, regular neighborhood を持つ。

この中で, 最初の「貼り合せ」という点に着目し, Euclid空間の代わりに「Euclid空間を有限群の作用で割った空間」を用いたものが, orbifoldである。 より一般の群の作用を考えることも重要である。Chen と Tian は, [CT10] で, 異なる次元のEuclid空間, あるいは多様体 ( orbifold) の一部を張り合わせることを考え, virtual manifold (orbifold) という概念を提案している。また stratification という分割の仕方もある。 Prato [Pra01] による quasifold という orbifold の一般化もある。 境界や角を持つ多様体も, この視点からの一般化と考えることができる。

• orbifold
• 群の作用を持つ多様体
• virtual manifold
• stratified space
• quasifold
• 境界や角を持つ多様体
• polyfold

Polyfold は Hofer, Wysocki, Zehnder の3人により開発された多様体の一般化で, [HWZ07; HWZ09b; HWZ10; HWZ09a] で調べられている。 みな長い論文であるが, Gromov-Witten theory への応用について書いた [HWZ17] は200ページを越えている。

境界の\(k\)個の成分を同一視し, \(\Z _k\)-manifold というある種の特異点を持った多様体を考えることもできる。Freed ら [Fre88; FM92] により使われているが, Deeley [Dee12; Dee13] によると, 元々 Sullivan [MS74; Sul96] により考えられたものらしい。欲しい環構造を持つ cobordism を作る方法である Baas-Sullivan construction に使われる。

• \(\Z _k\)-manifold

Euclid空間の代りに, fractal を張り合わせることを考えている人 [Str03] もいる。 Fractafold というものが定義されている。 Ionescu と Muhly [IM08] は topological groupoid と関連づけることを考えているようである。

Semialgebraic set を張り合わせると Nash manifold という概念を得る．

• Nash manifold

二番目の性質だけ取り出すと, Poincaré duality space の概念を得る。

• Poincaré duality space

更にその一般化も考えられている。例えば, Gorenstein space [FHT88] など。

• Gorenstein space

三番目の性質からは, Euclidean neighborhood retract (ENR) という概念を得るが, それと1の性質を組み合わせて “generalized manifold” という概念が定義されている。Hegenbarth と Repovš の [HR06] に定義が書いてある。

他にも様々なものがある。 Halverson と Repovoš の [HR08] は, 多様体の特徴付けに関する予想について述べたものであるが, そこには多様体の性質として次のようなものが挙げてある:

• homogeneous
• invariance of domain property
• Cantor \(n\)-manifold である
• disjoint \((k,m)\)-cells property
• 全ての\(k\)に対しlocally \(k\)-connected
• resolvable

以上は位相多様体の場合であるが, 可微分多様体の一般化を考えるには, その上の smooth function を定義する必要がある。逆に, smooth function の成す環を可微分構造と考えることもできる。 そのようなものも, 色々考えられている。 Stacey の [Sta11] で, それらが比較されていて, とても便利である。

• Frölicher space
• Souriau の diffeological space
• Chen space [Che77]
• Smith の differentiable space
• Sikorski の differential space [Sik67; Sik72]

Frölicher space に関する文献としては, Frölicher と Kriegl の [FK88] や Kriegl と Michor の [KM97] がある。 そのホモトピー論を考え始めた人もいる [DN07] ようである。 Lie群の類似として Frölicher group を考える [Lau11] こともできる。

Sikorski の differential space を用いた多様体の一般化として, Kreck [Web] の stratifold がある。Kreck の本 [Kre10] がある。

• stratifold

Bunke [BKS10] らにより integral cohomology の smooth extension を構成するのに使われている。無限次元の空間を扱うために, Kreck と Tene [KT18] は Hilbert stratifold を導入している。 Ángel ら [ATS] は, \(\Z _k\)-manifold の stratifold 版である \(\Z _{k}\)-stratifold を導入している。

• Hilbert stratifold
• \(\Z _{k}\)-stratifold

Differentiable space という名前のものとしては, ringed space として定義されるものもある。 Farsi らの [FPS15] によると, Spallek の [Spa69] で導入されたようである。 解説としては, Navarro González と Sancho de Salas の [NS03] が挙げられている。

• Spallek の differentiable space

Alexandrov の仕事 [Ale41] から, ある種の 距離空間を Riemann 多様体の一般化と考えることもできる。 Alexander, Kapovitch, Petrunin の [AKP24] を見るとよい。 曲率や tangent space (tangent cone) などを考えることができる。

• metric space with curvature bounded above
• tangent cone

代数幾何学の類似で, 一般の可換環上の可微分多様体のようなものを定義しようといる試みもある。Bertram は, 自身の [BGN04; Ber08; Ber13] などの仕事に基づいて, Weil space という多様体の一般化を [Ber] で導入している。Weil の [Wei53] に基づいて無限小の概念を入れたもののようである。

• Weil space

代数幾何学の枠組みでは, 特異点を持つものも考えるのが自然である。実数や複素数体上では, stratified space としてトポロジーの対象として考えることができる。

• filtered space や stratified space

部分多様体による filtration の一種であるが, 余次元 \(1\) 以上の部分多様体の減少列が指定されているものを, Hoekzema ら [Cal+] は nest manifold と呼んで調べている。Hoekzema の thesis で導入されたらしい。 彼等は, その cobordism も定義し, 調べている。

• nested manifold

代数幾何学的には, structure sheaf を用いるのも自然である。その方向での一般化としては, supermanifold やより一般の graded manifold がある。

• supermanifold
• 各種 graded manifold

非可換幾何学の枠組みも多様体の一般化と考えることができる。

• 非可換多様体

多様体の category を広げるという視点からは, Yoneda embedding を用いて, 多様体の category 上の集合に値を持つ (pre)sheaf の category を考えることもできる。 代数幾何学では, Grothendieck 以降 popular な視点だと思うが, 可微分多様体ではあまり考えられていないかもしれない。 Lin の [Lin12] があるが, そこでは Grothedieck topology が考えられていない。 Grothendieck topology を用いて topos として定義すべきだろう。

Bunk [Bun22] は, \(\R ^{n}\) と diffeomorphic な多様体の圏 \(\category {Cart}\) 上の simplicial presheaf を可微分多様体の一般化として考えることを提案している。 このアイデアは, motivic homotopy theory の基礎となるアイデアと共通するものである。 単なる集合の category に値を持つ presheaf は, Sati と Schreiber と Stasheff の [SSS09] や Pavlov の [Pav] などで使われている。 Diffeological space の圏を含むものであり, より良い圏が得られるようである。

• \(\category {Cart}\) 上の simplicial presheaf

Derived algebraic geometry の微分幾何版も考えられている。

• derived differential geometry

多様体の categoryを「改良」する方法として, Ayala と Francis [AF21] のzero-pointed manifold というものもある。

• zero-pointed manifold

References

[AF21]

David Ayala and John Francis. “Zero-pointed manifolds”. In: J. Inst. Math. Jussieu 20.3 (2021), pp. 785–858. arXiv: 1409.2857. url: https://doi.org/10.1017/S1474748019000343.

[AKP24]

Stephanie Alexander, Vitali Kapovitch, and Anton Petrunin. Alexandrov geometry—foundations. Vol. 236. Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, [2024] ©2024, pp. xvii+282. isbn: [9781470473020]; [9781470475369]; [9781470475352]. arXiv: 1903.08539.

[Ale41]

A. Alexandroff. “The inner geometry of an arbitrary convex surface”. In: C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.) 32 (1941), pp. 467–470.

[ATS]

Andrés Angel, Arley Fernando Torres, and Carlos Segovia. \(\mathbb {Z}_k\)-stratifolds. arXiv: 1810.00531.

[Ber]

Wolfgang Bertram. Weil Spaces and Weil-Lie Groups. arXiv: 1402.2619.

[Ber08]

Wolfgang Bertram. “Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces over general base fields and rings”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 192.900 (2008), pp. x+202. arXiv: math/0502168. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0900.

[Ber13]

Wolfgang Bertram. “Simplicial differential calculus, divided differences, and construction of Weil functors”. In: Forum Math. 25.1 (2013), pp. 19–47. arXiv: 1009.2354. url: http://dx.doi.org/10.1515/form.2011.105.

[BGN04]

W. Bertram, H. Glöckner, and K.-H. Neeb. “Differential calculus over general base fields and rings”. In: Expo. Math. 22.3 (2004), pp. 213–282. arXiv: math/0303300. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0723-0869(04)80006-9.

[BKS10]

Ulrich Bunke, Matthias Kreck, and Thomas Schick. “A geometric description of differential cohomology”. In: Ann. Math. Blaise Pascal 17.1 (2010), pp. 1–16. arXiv: 0903.5290. url: http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2010__17_1_1_0.

[Bun22]

Severin Bunk. “The \(\R \)-local homotopy theory of smooth spaces”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 17.4 (2022), pp. 593–650. arXiv: 2007.06039. url: https://doi.org/10.1007/s40062-022-00318-7.

[Cal+]

Maxine E. Calle et al. Nested cobordisms, Cyl-objects and Temperley-Lieb algebras. arXiv: 2403.01067.

[Che77]

Kuo Tsai Chen. “Iterated path integrals”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 83.5 (1977), pp. 831–879.

[CT10]

Bohui Chen and Gang Tian. “Virtual manifolds and localization”. In: Acta Math. Sin. (Engl. Ser.) 26.1 (2010), pp. 1–24. arXiv: math/0610369. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10114-010-9538-9.

[Dee12]

Robin J. Deeley. “Geometric \(K\)-homology with coefficients I: \(\Z /k\Z \)-cycles and Bockstein sequence”. In: J. K-Theory 9.3 (2012), pp. 537–564. arXiv: 1101.0697. url: http://dx.doi.org/10.1017/is011010022jkt170.

[Dee13]

Robin J. Deeley. “Geometric \(K\)-homology with coefficients II: The analytic theory and isomorphism”. In: J. K-Theory 12.2 (2013), pp. 235–256. arXiv: 1101.0703. url: https://doi.org/10.1017/is013007003jkt235.

[DN07]

Brett Dugmore and Patrice Pungu Ntumba. “Cofibrations in the category of Frölicher spaces. I”. In: Homology, Homotopy Appl. 9.2 (2007), pp. 413–444. arXiv: 0704.0342. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1201127344.

[FHT88]

Yves Félix, Stephen Halperin, and Jean-Claude Thomas. “Gorenstein spaces”. In: Adv. in Math. 71.1 (1988), pp. 92–112. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(88)90067-9.

[FK88]

Alfred Frölicher and Andreas Kriegl. Linear spaces and differentiation theory. Pure and Applied Mathematics (New York). A Wiley-Interscience Publication. Chichester: John Wiley & Sons Ltd., 1988, pp. xvi+246. isbn: 0-471-91786-9.

[FM92]

Daniel S. Freed and Richard B. Melrose. “A mod \(k\) index theorem”. In: Invent. Math. 107.2 (1992), pp. 283–299. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01231891.

[FPS15]

Carla Farsi, Markus J. Pflaum, and Christopher Seaton. “Stratifications of inertia spaces of compact Lie group actions”. In: J. Singul. 13 (2015), pp. 107–140. arXiv: 1207.0595. url: https://doi.org/10.5427/jsing.2015.13f.

[Fre88]

Daniel S. Freed. “\(\Z /k\)-manifolds and families of Dirac operators”. In: Invent. Math. 92.2 (1988), pp. 243–254. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01404453.

[HR06]

Friedrich Hegenbarth and Dušan Repovš. “The Bryant-Ferry-Mio-Weinberger construction of generalized manifolds”. In: Exotic homology manifolds—Oberwolfach 2003. Vol. 9. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2006, pp. 17–32. arXiv: math/0608654. url: https://doi.org/10.2140/gtm.2006.9.17.

[HR08]

Denise M. Halverson and Dušan Repovš. “The Bing-Borsuk and the Busemann conjectures”. In: Math. Commun. 13.2 (2008), pp. 163–184. arXiv: 0811.0886.

[HWZ07]

H. Hofer, K. Wysocki, and E. Zehnder. “A general Fredholm theory. I. A splicing-based differential geometry”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 9.4 (2007), pp. 841–876. arXiv: math/0612604. url: http://dx.doi.org/10.4171/JEMS/99.

[HWZ09a]

Helmut Hofer, Kris Wysocki, and Eduard Zehnder. “A general Fredholm theory. III. Fredholm functors and polyfolds”. In: Geom. Topol. 13.4 (2009), pp. 2279–2387. arXiv: 0810.0736. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2009.13.2279.

[HWZ09b]

Helmut Hofer, Krzysztof Wysocki, and Eduard Zehnder. “A general Fredholm theory. II. Implicit function theorems”. In: Geom. Funct. Anal. 19.1 (2009), pp. 206–293. arXiv: 0705.1310. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00039-009-0715-x.

[HWZ10]

H. Hofer, K. Wysocki, and E. Zehnder. “Integration theory on the zero sets of polyfold Fredholm sections”. In: Math. Ann. 346.1 (2010), pp. 139–198. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00208-009-0393-x.

[HWZ17]

H. Hofer, K. Wysocki, and E. Zehnder. “Applications of polyfold theory I: The polyfolds of Gromov-Witten theory”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 248.1179 (2017), pp. v+218. arXiv: 1107.2097. url: https://doi.org/10.1090/memo/1179.

[IM08]

Marius Ionescu and Paul S. Muhly. “Groupoid methods in wavelet analysis”. In: Group representations, ergodic theory, and mathematical physics: a tribute to George W. Mackey. Vol. 449. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008, pp. 193–208. arXiv: 0709.2294. url: https://doi.org/10.1090/conm/449/08713.

[KM97]

Andreas Kriegl and Peter W. Michor. The convenient setting of global analysis. Vol. 53. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1997, pp. x+618. isbn: 0-8218-0780-3.

[Kre10]

Matthias Kreck. Differential algebraic topology. Vol. 110. Graduate Studies in Mathematics. From stratifolds to exotic spheres. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010, pp. xii+218. isbn: 978-0-8218-4898-2. url: http://dx.doi.org/10.1090/gsm/110.

[KT18]

Matthias Kreck and Haggai Tene. “Hilbert stratifolds and a Quillen type geometric description of cohomology for Hilbert manifolds”. In: Forum Math. Sigma 6 (2018), Paper No. e4, 33. arXiv: 1506.07075. url: https://doi.org/10.1017/fms.2018.1.

[Lau11]

Martin Laubinger. “A Lie algebra for Frölicher groups”. In: Indag. Math. (N.S.) 21.3-4 (2011), pp. 156–174. arXiv: 0906.4486. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.indag.2011.04.001.

[Lin12]

Xianzu Lin. “Infinite dimensional manifolds from a new point of view”. In: Topology Appl. 159.15 (2012), pp. 3355–3362. arXiv: 1012.5885. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2012.07.018.

[MS74]

John W. Morgan and Dennis P. Sullivan. “The transversality characteristic class and linking cycles in surgery theory”. In: Ann. of Math. (2) 99 (1974), pp. 463–544. url: https://doi.org/10.2307/1971060.

[NS03]

Juan A. Navarro González and Juan B. Sancho de Salas. \(C^{\infty }\)-differentiable spaces. Vol. 1824. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2003, pp. xiv+188. isbn: 3-540-20072-X. url: http://dx.doi.org/10.1007/b13465.

[Pav]

Dmitri Pavlov. Projective model structures on diffeological spaces and smooth sets and the smooth Oka principle. arXiv: 2210.12845.

[Pra01]

Elisa Prato. “Simple non-rational convex polytopes via symplectic geometry”. In: Topology 40.5 (2001), pp. 961–975. arXiv: math/9904179. url: https://doi.org/10.1016/S0040-9383(00)00006-9.

[Sik67]

Roman Sikorski. “Abstract covariant derivative”. In: Colloq. Math. 18 (1967), pp. 251–272.

[Sik72]

Roman Sikorski. “Differential modules”. In: Colloq. Math. 24 (1971/72), pp. 45–79.

[Spa69]

Karlheinz Spallek. “Differenzierbare Räume”. In: Math. Ann. 180 (1969), pp. 269–296. url: https://doi.org/10.1007/BF01351881.

[SSS09]

Hisham Sati, Urs Schreiber, and Jim Stasheff. “\(L_\infty \)-algebra connections and applications to String- and Chern-Simons \(n\)-transport”. In: Quantum field theory. Birkhäuser, Basel, 2009, pp. 303–424. arXiv: 0801.3480. url: https://doi.org/10.1007/978-3-7643-8736-5_17.

[Sta11]

Andrew Stacey. “Comparative smootheology”. In: Theory Appl. Categ. 25 (2011), No. 4, 64–117. arXiv: 0802.2225.

[Str03]

Robert S. Strichartz. “Fractafolds based on the Sierpiński gasket and their spectra”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 355.10 (2003), 4019–4043 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-03-03171-4.

[Sul96]

D. P. Sullivan. “Triangulating and smoothing homotopy equivalences and homeomorphisms. Geometric Topology Seminar Notes”. In: The Hauptvermutung book. Vol. 1. \(K\)-Monogr. Math. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1996, pp. 69–103.

[Web]

Julia Weber. Equivariant stratifold homology theories. arXiv: math/0606559.

[Wei53]

André Weil. “Théorie des points proches sur les variétés différentiables”. In: Géométrie différentielle. Colloques Internationaux du Centre National de la Recherche Scientifique, Strasbourg, 1953. Paris: Centre National de la Recherche Scientifique, 1953, pp. 111–117.