複数の monoidal structure を持つ category

圏が複数の monoidal structure を持つとき, それらの関係としては, まずベクトル空間の \(\otimes \) と \(\oplus \) ようなものが考えられる。 このようなものは, 様々な呼び名で呼ばれている。\(\otimes \) が strict な symmetric monoidal category (permutative category) では, bipermutative category と呼ばれたりする。他には ring category とか。Getzler は [Get99] で rring と呼んでいる。

• bipermutative category
• ring category あるいは rring

ホモトピー論では, 2重ループ空間の2つの積構造のような, 複数の monoidal structure を持ち, それらが適当な coherence condition をみたすものが必要になる。

そのようなものとしては, Balteanu と Fiedorowicz の [BF96] で定義された, 2つの monoidal structure を持つものが最初だろうか。その後, 彼らは Schwänzl と Vogt と共に [Bal+03] でその多重版を定義している。関連した文献としては, Fiedorowicz とVogt の [FV03] がある。

これらの論文での主定理は, \(n\)-fold monoidal category の nerve を取ると \(n\)-fold loop space ができる, ということである。

• small \(n\)重 monoidal category の nerve の group completion は \(n\)重ループ空間

これは small monoidal category の分類空間と\(1\)重ループ空間の関係, braided monoidal category と\(2\)重ループ空間の関係の一般化になっている。

• braided monoidal category は, \(2\)重 monoidal category の特殊なもの

関連した文献として, Joyal と Street の [JS93] がある。

より精密な多重ループ空間との関係として, [Bal+03] では, 有限集合で生成されたfree \(n\)重 monoidal category の subcategory として, Milgram の\(n\)重ループ空間のモデルに登場する permutohedron から作られた空間とほぼ同じものができることが示されていて興味深い。

• free \(n\)重monoidal category

最も基本的な \(2\)重 monoidal categoryは, “ordered monoid” である。一つの積としては \(\max \), もう一つの積が monoid の積である。 Forcey と Siehler と Sowers の [FSS] によると, 他にも様々な分野から iterated monoidal category とみなせるものが得られるようである。 Pure braid や semiring や tropical mathematics など。

上記の Forcey と Siehler と Sowers の論文では, 通常の operad の定義の monoidal category を \(n\)重 monoidal category に変えた operad の一般化が考えられている。更に条件を弱めたものが, Aguiar と Mahajan の本 [AM10] で定義されている。\(2\)重の場合であるが。 Batanin と Markl [BM12] は, この構造を duoidal category と呼んでいる。 また, より一般に \(n\)-oidal categoryを考えている。Booker と Street は, [BS13] で duoidal category の一般論の構築を始めると宣言している。

• duoidal category
• \(n\)-oidal category

彼らによると, enriched category の monoidal structure を考えるためには, duoidal category による enrichment を考えるべきのようである。

Torii は, [Tora] で duoidal category の \(\infty \)版を定義している。更に \(\infty \)-operad の有限列 \(\bm {O}\) を用いた一般化を [Torb] で定義している。

• duoidal \(\infty \)-category
• \(\bm {O}\)-monoidal \(\infty \)-category

Vallette は, [Val08] で Manin が quadratic algebra に対して定義した二つの積 (Manin product) を\(2\)重monoidal category での “generator と relation で表されたもの” に対し拡張している。

References

[AM10]

Marcelo Aguiar and Swapneel Mahajan. Monoidal functors, species and Hopf algebras. Vol. 29. CRM Monograph Series. With forewords by Kenneth Brown and Stephen Chase and André Joyal. Providence, RI: American Mathematical Society, 2010, pp. lii+784. isbn: 978-0-8218-4776-3.

[Bal+03]

C. Balteanu, Z. Fiedorowicz, R. Schwänzl, and R. Vogt. “Iterated monoidal categories”. In: Adv. Math. 176.2 (2003), pp. 277–349. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0001-8708(03)00065-3.

[BF96]

C. Balteanu and Z. Fiedorowicz. “The coherence theorem for 2-fold monoidal categories”. In: An. Univ. Timişoara Ser. Mat.-Inform. 34.1 (1996), pp. 29–48.

[BM12]

Michael Batanin and Martin Markl. “Centers and homotopy centers in enriched monoidal categories”. In: Adv. Math. 230.4-6 (2012), pp. 1811–1858. arXiv: 1109.4084. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2012.04.011.

[BS13]

Thomas Booker and Ross Street. “Tannaka duality and convolution for duoidal categories”. In: Theory Appl. Categ. 28 (2013), No. 6, 166–205. arXiv: 1111.5659.

[FSS]

S. Forcey, J. Siehler, and E. Seth Sowers. Combinatorial \(n\)-fold monoidal categories and \(n\)-fold operads. arXiv: math/0411561.

[FV03]

Z. Fiedorowicz and R. Vogt. “Simplicial \(n\)-fold monoidal categories model all loop spaces”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 44.2 (2003), pp. 105–148.

[Get99]

E. Getzler. “Resolving mixed Hodge modules on configuration spaces”. In: Duke Math. J. 96.1 (1999), pp. 175–203. arXiv: alg-geom/9510018. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-99-09605-9.

[JS93]

André Joyal and Ross Street. “Braided tensor categories”. In: Adv. Math. 102.1 (1993), pp. 20–78. url: https://doi.org/10.1006/aima.1993.1055.

[Tora]

Takeshi Torii. On duoidal \(\infty \)-categories. arXiv: 2106.14121.

[Torb]

Takeshi Torii. On higher monoidal \(\infty \)-categories. arXiv: 2111.00158.

[Val08]

Bruno Vallette. “Manin products, Koszul duality, Loday algebras and Deligne conjecture”. In: J. Reine Angew. Math. 620 (2008), pp. 105–164. arXiv: math/0609002. url: http://dx.doi.org/10.1515/CRELLE.2008.051.