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グラフは, 1次元の CW複体とみなすことができるが, そのように見ると \(S^{1}\) のいくつかの wedge 和 (の disjoint union)
とホモトピー同値になり, 面白いことは起きない。 しかしながら, グラフについては, 様々な方法でそのホモトピー論が考えられている。
McGuirk と Park の [MP] の Introduction では, Gianella の [Gia77], Malle の [Mal83],
Chen と Yau と Yeh の [CYY01] などが挙げられている。
この Chen と Yau と Yeh の仕事は, その後の Grigor\('\)yan と Lin と Muranov と Yau による quiver の
homotopy theory の元になったもののようである。
最近では, グラフから様々な方法で 単体的複体を作り, そのホモトピー型を調べるということが行なわれている。
これらの単体的複体のホモトピー型を調べることにより, 元のグラフの性質を得ようというのは自然なアイデアであり, グラフの chromatic
number などの研究に用いられている。
そのアイデアを更に推しすすめて, “graph のホモトピー論”を考えることもできる。 イギリスの物理学者 Atkin のアイデア
[Atk74; Atk76] を元に Barcelo と Kramer と Laubenbacher と Weaver が \(A\)-theory として
[Bar+01] で提唱している。
そして, 単体的複体に対し, “\(A\)-homotopy group” を定義し, それを graph から作られる単体的複体に適用することにより
graph のホモトピー群を定義している。 最近の [BS08; BSW11] を見ると, Barcelo らは, その単体的複体のホモトピー群のことを
discrete homotopy group と呼ぶことにしたようである。
その後 Babson と Barcelo と de Longueville と Laubenbacher よる “A Homotopy Theory
for Graphs” [Bab+06] という論文も出ている。
Dochtermann の [Doc09a] によると, グラフの圏での homotopy を考えるのには, \(\Hom \) complex
が有効らしい。上記の discrete homotopy theory (\(A\)-homotopy theory) も, その文脈で扱えるらしい。その後,
Dochtermann は [Doc09b] で ホモトピー群などを調べている。
Goyal と Santhanam [GSa] はグラフの double mapping cylinder を導入し, それが Hom
complex により homotopy pushout に変換されることを示している。
- グラフの double mapping cylinder あるいは homotopy pushout
より一般的な homotopy colimit もグラフの圏で作れそうだ, と思うかもしれないが, Goyal と Santhanam は,
彼等の double mapping cylinder をグラフの圏での homotopy pushout と考えてはいけないと言っている。 そして,
Carranza, Kapulkin, Kim の [CKK23] により, それは難しいことが示されてしまった。 彼等は, グラフの圏を
\(A\)-ホモトピー同値で localize してできる quasicategory が colimit で閉じていないことを示している。
\(A\)-homotopy は, グラフの積 (Cartesian product) を用いて定義されたものであるが, category theory
の意味での積を用いた homotopy を Dochtermann が [Doc09a] で考えている。
-
\(\times \)-homotopy theory of graphs
それについても, Goyal と Santhanam が [GS21] で調べている。 残念ながら, Strøm-type の model
structure は存在しないようである。
また, 彼等は [GSb] で Szumło [Szu16] の意味での cofibration category にもならないことを示している。
別の方向では, Corry [Cor12] によるグラフの étale fundamental group もある。
- グラフの étale fundamental group
これを拡張した, グラフの étale homotopy theory ができないのだろうか。実際, Joyal と Kock
は [JK11] でグラフの étale morphism を定義している。ただし, 彼等の定義した Feynman graph
というグラフの拡張に対してであるが。Kock は [Koc16] で quiver 版も定義している。
グラフからは, \(C^*\)-algebra を作ることもできる。
\(C^*\)-algebra のホモトピー論, つまり 非可換トポロジーのテクニックにより, グラフのホモトピー論ができると思うが,
他のアプローチとの関係はどうなっているのだろう。
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