Yoneda Lemma

圏 \(C\) 上の集合の圏 \(\category{Set}\) に値を持つ presheaf, つまり contravariant functor 全体の成す圏 \(C^{\wedge } = \category{Funct}(C^{\op },\category{Set})\) に \(C\) を fully faithful に埋め込む \[ h : C \hookrightarrow C^{\wedge } \] ことができる。ただし object に対し \[ h(X)(Y) = C(Y,X) \] である。

とても simple な命題であるし, 証明も簡単であるが, 様々な場面で使われる。 例えば, Lin の [Lin] では, 多様体の category を広げるために使われている。

トポロジーで現れる圏は位相空間の圏や simplicial set の圏で enrich されている場合が多いが, そのような enrich された圏での Yoneda Lemma もある。 例えば, Kelly の本 [Kel82] の §2.4 に書かれている。そこで仮定している base の monoidal category が symmetric monoidal であるとか closed であるという条件が不要であることが Hinich [Hin] により示されている。

• enriched Yoneda Lemma

高次の圏への一般化も考えられている。例えば, bicategory の Yoneda Lemma は, Street の [Str74] で証明された。Street の [Str80] や Leinster の [Lei] も見るとよい。その応用として, 任意の bicategory が strict \(2\)-category に bicategory として equivalent になること, などが証明できる。

• bicategory の Yoneda Lemma

References

[Hin]

V. Hinich. Enriched Yoneda Lemma. arXiv: 1511.00857.

[Kel82]

Gregory Maxwell Kelly. Basic concepts of enriched category theory. Vol. 64. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge: Cambridge University Press, 1982, p. 245. isbn: 0-521-28702-2.

[Lei]

Tom Leinster. Basic Bicategories. arXiv: math/9810017.

[Lin]

Xianzu Lin. Infinite dimensional manifolds from a new point of view. arXiv: 1012.5885.

[Str74]

Ross Street. “Fibrations and Yoneda’s lemma in a \(2\)-category”. In: Category Seminar (Proc. Sem., Sydney, 1972/1973). Berlin: Springer, 1974, 104–133. Lecture Notes in Math., Vol. 420.

[Str80]

Ross Street. “Fibrations in bicategories”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle 21.2 (1980), pp. 111–160.