Monoid and Comonoid Objects

Monoidal categoryでは, monoid object や comonoid object の概念が定義できる。

集合の category での monoid object が通常の意味の monoid であり, Abel群や, より一般に可換環 \(k\) 上の加群の圏を tensor product で monoidal category と考えたときの monoid object は環や \(k\) 上の algebra である。

一方, 集合の category では全ての object が一意的な comonoid の構造を持つのでつまらないが, module の category では, comonoid object は coalgebra である。

また, ある圏 \(C\) の endomorphism functor と natural transformation の成す圏 を functor の合成で monoidal category と考えた ときの monoid object と comonoid object が monadと comonad である。

• monoid object
• comonoid object

多元環に関する概念は, monoid object に一般化できるものが多い。例えば, Davydov [Dav10] は center を定義している。ただし, それはその monoid object が定義されている monoidal category の center に属する commutative monoid であるが。

• monoid object の center

Monoid と comonoid があれば, それらを組み合せて bialgebra や Hopf algebra の 一般化が考えられる。

• bimonoid object
• Hopf monoid object

例えば, braided monoidal category での Hopf monoid は, braided Hopf algebra と呼ばれるものであるし, species の category での Hopf monoid は, Aguiar ら [AM10; AM] で調べられている。

Monoid や環や coalgebra の一般化として monoid object や comonoid object の categoryを定義するときには, 準同型に対応するものを morphism として考える。 そのような monoid object や comonoid object の accessibilityについては, Porst [Por08] が考えている。

一方, monad の morphism としては, より一般的なものが必要になる。Monad は本質的に bicategory の構造に関するものであり, 一般の bicategory で monoid object を定義することもできるが, その際にはより一般的な morphism そして 2-morphism を考え, bicategory として考えるべきなのである。 それについては, Lack と Street の [Str72; LS02] で formal theory of monad として書かれている。

• bicategory での (co)monoid object の成す bicategory

また, monoidal category 自体も, 或る種の monoid object と考えることができる。 例えば, Chikhladze と Lack と Street の [CLS10] など。

• monoidale

Doplicher-Roberts 型の表現の大域的構造の研究での monoid object の役割については, Müger と Tuset の [MT08] をみるとよい。

References

[AM]

Marcelo Aguiar and Swapneel Mahajan. On the Hadamard product of Hopf monoids. arXiv: 1209.1363.

[AM10]

Marcelo Aguiar and Swapneel Mahajan. Monoidal functors, species and Hopf algebras. Vol. 29. CRM Monograph Series. With forewords by Kenneth Brown and Stephen Chase and André Joyal. Providence, RI: American Mathematical Society, 2010, pp. lii+784. isbn: 978-0-8218-4776-3.

[CLS10]

Dimitri Chikhladze, Stephen Lack, and Ross Street. “Hopf monoidal comonads”. In: Theory Appl. Categ. 24 (2010), No. 19, 554–563. arXiv: 1002.1122.

[Dav10]

Alexei Davydov. “Centre of an algebra”. In: Adv. Math. 225.1 (2010), pp. 319–348. arXiv: 0908.1250. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.02.018.

[LS02]

Stephen Lack and Ross Street. “The formal theory of monads. II”. In: J. Pure Appl. Algebra 175.1-3 (2002). Special volume celebrating the 70th birthday of Professor Max Kelly, pp. 243–265. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00137-8.

[MT08]

Michael Müger and Lars Tuset. “Monoids, embedding functors and quantum groups”. In: Internat. J. Math. 19.1 (2008), pp. 93–123. arXiv: math/0604065. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129167X08004558.

[Por08]

Hans-E. Porst. “On categories of monoids, comonoids, and bimonoids”. In: Quaest. Math. 31.2 (2008), pp. 127–139. url: http://dx.doi.org/10.2989/QM.2008.31.2.2.474.

[Str72]

Ross Street. “The formal theory of monads”. In: J. Pure Appl. Algebra 2.2 (1972), pp. 149–168. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(72)90019-9.