Fractal

Fractal とは厳密な定義がある数学用語なのだろうか。 何となく, 自己相似的, つまりその一部を拡大すると全体と似た構造を持つものを指す言葉のように思える。 有名な例としては次のようなものがある。

• Cantor set
• Sierpinski gasket
• Menger sponge
• Julia set
• Mandelbrot set

Mandelbrot set のように, 離散力学系からできるものが多い。

Mandelbrot set については, この MathOverflow での質問に対する回答で, 色々文献が挙げられている。

Funar と Neretin [FN18] によると, Cantor set 上の微分構造を最初に考えたのは, Sullivan [Sul88] らしい。 また, 彼等によると, Cantor set などの diffeomorphism group や mapping class group は, Richard Thompson の群やその一般化になっているようである。

Mandelbrot set などの, 1変数複素関数を繰り返すことによる離散力学系からできるものについては, Dolotin と Morozov [DM; DM06] が, 代数幾何学の視点から扱うことができることを, 発見している。そのことにより, 他の分野との新しい関係が色々発見されていて, とても興味深い。例えば, Kononov と Morozov [KM15] は, colored HOMFLY polynomial との関係を調べている。

Leinster [Lei11] は category theory の言葉で, fractal のような構造を記述しようとしている。その流れで \(p\)進整数環 \(\Z _{\hat{p}}\) の特徴付けを Bhattacharya [Bha]が得ている。

References

[Bha]

Prasit Bhattacharya. The \(p\)-adic integers as final coalgebra. arXiv: 1504.01408.

[DM]

V. Dolotin and A. Morozov. Algebraic Geometry of Discrete Dynamics. The case of one variable. arXiv: hep-th/0501235.

[DM06]

V. Dolotin and A. Morozov. The universal Mandelbrot set. Beginning of the story. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2006, pp. xii+162. isbn: 981-256-837-9. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789812773357.

[FN18]

Louis Funar and Yurii Neretin. “Diffeomorphism groups of tame Cantor sets and Thompson-like groups”. In: Compos. Math. 154.5 (2018), pp. 1066–1110. arXiv: 1411.4855. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X18007066.

[KM15]

Ya. Kononov and A. Morozov. “Colored HOMFLY and generalized Mandelbrot set”. In: J. High Energy Phys. 11 (2015), 151, front matter+21. arXiv: 1510.01252. url: https://doi.org/10.1007/JHEP11(2015)151.

[Lei11]

Tom Leinster. “A general theory of self-similarity”. In: Adv. Math. 226.4 (2011), pp. 2935–3017. arXiv: 1010.4474. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.10.009.

[Sul88]

Dennis Sullivan. “Differentiable structures on fractal like sets, determined by intrinsic scaling functions on dual Cantor sets”. In: Nonlinear evolution and chaotic phenomena (Noto, 1987). Vol. 176. NATO Adv. Sci. Inst. Ser. B: Phys. Plenum, New York, 1988, pp. 101–110. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4613-1017-4_7.