位相空間 \(X\) が, その部分空間 \(A\) に「潰れて」くれると嬉しい。 扱う空間が小さくなるにこしたことはない。 正確には, retract や
deformation retract などの用語を使う必要がある。これらについては, 写像の拡張との関係もあって, トポロジーのかなり初期に
“theory of retracts” として詳しく調べられている。 実際, Borsuk の本 [Bor67] や Hu の本 [Hu65] がある。また,
いくつかのトポロジーの教科書の付録としても書かれていたりする。例えば, Dold の [Dol95], Ludell と Weingram の
[LW69], Bredon の [Bre97] など。
- レトラクト (retract)
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絶対レトラクト (absolute retract, AR)
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絶対近傍レトラクト (absolute neighborhood retract, ANR)
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Euclid近傍レトラクト (ENR)
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変位レトラクト (deformation retract)
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近傍変位レトラクト (neighborhood deformation retract)
- 強変位レトラクト (strong deformation retract)
- 空間 \(X\) が 空間 \(Y\) を dominate する
ANR についての標準的な事実として, 以下が Guilbault の [Gui] の Appendix にまとめられている。
- ANR の開部分集合は ANR
- \(A\) と \(B\) と \(A\cap B\) が compact ANR ならば \(A\cup B\) も compact ANR
- ANR の retract は ANR
- ANR は任意の位相空間とその閉部分集合の組に対し ホモトピー拡張性質を持つ
- 任意の ANR は局所有限なCW複体と proper ホモトピー同値であり, 任 意の compact ANR
は有限CW複体とホモトピー同値
この Guilbault の [Gui] が compactでない多様体に関する survey であることからも分かるように, ANR などは
compact でない多様体や無限次元多様体の研究などで使われる。
Palais は, [Pal66] で 無限次元多様体が, AR や ANR になる条件を調べている。
群の作用を持つ空間でも考えられている。 \(G\)-ANR については, James と Segal の [JS80] にまとめられている。
Jaworowski の [Jaw76] では, \(G\)-ENR が調べられている。
References
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[Bor67]
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Karol Borsuk. Theory of retracts. Monografie Matematyczne, Tom 44.
Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warsaw, 1967, p. 251.
-
[Bre97]
-
Glen E. Bredon. Topology and geometry. Vol. 139. Graduate Texts in
Mathematics. Corrected third printing of the 1993 original. New York:
Springer-Verlag, 1997, pp. xiv+557. isbn: 0-387-97926-3.
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[Dol95]
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Albrecht Dold. Lectures on algebraic topology. Classics
in Mathematics. Reprint of the 1972 edition. Berlin: Springer-Verlag,
1995, pp. xii+377. isbn: 3-540-58660-1.
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[Gui]
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Craig R. Guilbault. Ends, shapes, and boundaries in manifold topology
and geometric group theory. arXiv: 1210.6741.
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[Hu65]
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Sze-tsen Hu. Theory of retracts. Detroit: Wayne State University
Press, 1965, p. 234.
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[Jaw76]
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Jan W. Jaworowski. “Extensions of \(G\)-maps and Euclidean \(G\)-retracts”.
In: Math. Z. 146.2 (1976), pp. 143–148.
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[JS80]
-
I. M. James and G. B. Segal. “On equivariant homotopy theory”.
In: Topology Symposium, Siegen 1979 (Proc. Sympos., Univ. Siegen,
Siegen, 1979). Vol. 788. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer,
1980, pp. 316–330.
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[LW69]
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Albert T. Lundell
and Stephen Weingram. Topology of CW-Complexes. New York: Van
Nostrand Reinhold, 1969, pp. viii+216.
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[Pal66]
-
Richard S. Palais. “Homotopy theory of infinite dimensional
manifolds”. In: Topology 5 (1966), pp. 1–16.
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