次数付きの多様体

Graded manifold として最も古くから使われているのは supermanifold, つまり \(\Z /2\Z \) で次数付けられた多様体だろう。

• supermanifold

Boyer と Sanchez-Valenzuela [BS91] によると, Lie supergroup と superhomogeneous space に関する最初の仕事は, Kostant の [Kos77] のようである。そこには Berezin の [Ber87] も挙げられているが, Karabegov と Neretin と Th. Voronov の [KNV] によると, supermathematics の創始者は Berezin らしい。

Dumitrescu の [Dum] には, Leites の [Leı̆80], Manin の本 [Man97], Deligne と Morgan の [DM99], Varadarajan の本 [Var04] などが参考文献として挙げられている。 他にも, Caston と Fioresi の[CF] もある。 この Caston と Fioresi の本では algebraic supergroup も扱われている。

• algebraic supergroup

より一般的な grading を持つものとして, Theodore Voronov [Vor02] の graded manifold がある。

• graded manifold

他にも類似のものとしては, Kontsevich [Kon03] のものや Severa [Šev05] の N-manifold がある。Zambon と Zhu [ZZ] は, homological vector field を持つ N-manifold を NQ-manifold と呼んでいる。

• N-manifold
• NQ-manifold

ベクトル束の組と homological vector field の組である条件をみたすものを持つものを, Laurent-Gengoux, Stiénon, Xu [LSX21] は Kapranov dg manifold と呼んでいる。

• Kapranov dg manifold

References

[Ber87]

Felix Alexandrovich Berezin. Introduction to superanalysis. Vol. 9. Mathematical Physics and Applied Mathematics. Edited and with a foreword by A. A. Kirillov, With an appendix by V. I. Ogievetsky, Translated from the Russian by J. Niederle and R. Kotecký, Translation edited by Dimitri Leı̆tes. Dordrecht: D. Reidel Publishing Co., 1987, pp. xii+424. isbn: 90-277-1668-4.

[BS91]

Charles P. Boyer and O. A. Sánchez-Valenzuela. “Lie supergroup actions on supermanifolds”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 323.1 (1991), pp. 151–175. url: http://dx.doi.org/10.2307/2001621.

[CF]

L. Caston and R. Fioresi. Mathematical Foundations of Supersymmetry. arXiv: 0710.5742.

[DM99]

Pierre Deligne and John W. Morgan. “Notes on supersymmetry (following Joseph Bernstein)”. In: Quantum fields and strings: a course for mathematicians, Vol. 1, 2 (Princeton, NJ, 1996/1997). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999, pp. 41–97.

[Dum]

Florin Dumitrescu. Superconnections and Parallel Transport. arXiv: 0711.2766.

[KNV]

Alexander Karabegov, Yuri Neretin, and Theodore Voronov. Felix Alexandrovich Berezin and his work. arXiv: 1202.3930.

[Kon03]

Maxim Kontsevich. “Deformation quantization of Poisson manifolds”. In: Lett. Math. Phys. 66.3 (2003), pp. 157–216. arXiv: q-alg/9709040. url: http://dx.doi.org/10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf.

[Kos77]

Bertram Kostant. “Graded manifolds, graded Lie theory, and prequantization”. In: Differential geometrical methods in mathematical physics (Proc. Sympos., Univ. Bonn, Bonn, 1975). Berlin: Springer, 1977, 177–306. Lecture Notes in Math., Vol. 570.

[Leı̆80]

D. A. Leı̆tes. “Introduction to the theory of supermanifolds”. In: Uspekhi Mat. Nauk 35.1(211) (1980), pp. 3–57, 255.

[LSX21]

Camille Laurent-Gengoux, Mathieu Stiénon, and Ping Xu. “Poincaré-Birkhoff-Witt isomorphisms and Kapranov dg-manifolds”. In: Adv. Math. 387 (2021), Paper No. 107792, 62. arXiv: 1408.2903. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2021.107792.

[Man97]

Yuri I. Manin. Gauge field theory and complex geometry. Second. Vol. 289. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Translated from the 1984 Russian original by N. Koblitz and J. R. King, With an appendix by Sergei Merkulov. Berlin: Springer-Verlag, 1997, pp. xii+346. isbn: 3-540-61378-1.

[Šev05]

Pavol Ševera. “Some title containing the words “homotopy” and “symplectic”, e.g. this one”. In: Travaux mathématiques. Fasc. XVI. Trav. Math., XVI. Univ. Luxemb., Luxembourg, 2005, pp. 121–137. arXiv: math/0105080.

[Var04]

V. S. Varadarajan. Supersymmetry for mathematicians: an introduction. Vol. 11. Courant Lecture Notes in Mathematics. New York University, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 2004, pp. viii+300. isbn: 0-8218-3574-2.

[Vor02]

Theodore Voronov. “Graded manifolds and Drinfeld doubles for Lie bialgebroids”. In: Quantization, Poisson brackets and beyond (Manchester, 2001). Vol. 315. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002, pp. 131–168. arXiv: math/0105237. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/315/05478.

[ZZ]

Marco Zambon and Chenchang Zhu. Higher Lie algebra actions on Lie algebroids. arXiv: 1012.0428.