境界や角を持つ多様体

境界を持つ多様体は, コボルディズムの基本である。

複素コボルディズムなどで, 係数環の生成元を消したいときには, いわゆる Baas-Sullivan 構成という方法があるが, そこでは角を持つ多様体 (manifold with corners) が使われている。 角を持つ多様体は, topological quantum field theory を拡張するためにも用いられる。 Albin と Melrose の [AM11] では, compact Lie群の多様体への作用を resolve するために用いられている。 その§1には, manifold with corners について簡潔にまとめられている。

Laures の [Lau00] によると, 角を持つ多様体のアイデアは, Cerf [Cer61] と Douady [Dou62] によるものらしい。 Baas-Sullivan 構成が導入された Baas の論文 [Baa73] では, Jänich の論文 [Jän68] も参照されている。 他の文献としては, Michael Davis の [Dav83] や Melrose の未完成の本 [Mel] の第1章などがある。

Jänich は, この論文で, manifold with faces, そして \(\langle n\rangle \)-manifold という概念を導入している。それは, Laures の [Lau00] でも使われている。

  • manifold with corners
  • manifold with faces
  • \(\langle n\rangle \)-manifold

最後の \(\langle n\rangle \)-manifold は, Khovanov homotopy type などを定義するための, framed flow category の morphism の空間として用いられる。そして, framing を定義するために neat immersion や neat embedding が使われる。

  • neat immersion and neat embedding

このように, manifold with corners として使われているものには, 微妙に定義が異なったものが, 何種類もある。 その比較としては, Joyce の [Joy12] の Remark 2.11 がとてもよくまとまっているので, manifold with corners を使うときには, まずこの Remark に目を通すのがよいと思う。 ただ, Joyce は, manifold with corners \(M\) の境界 \(\partial M\) として, 他の定義とは異なるものを用いているので注意しないといけない。

Castillo と Diaz は, [CD09] で, 多様体ordinary homology での intersection pairing を考えるために都合の良いモデルとして, 角を持つ多様体を用いた chain complex を考えている。

角を持つ多様体上の解析を考えるときには, groupoid を使うのがよいようである。Monthubert の [Mon99] や Nistor と Weinstein と Xu の [NWX99] にあるように。

角を持つ多様体の間の morphism, つまり角を持つ多様体の成す category を提案しているのは, Joyce [Joy12] である。その動機は, symplectic geometry のようであるが。

Joyce によると, Banach manifold への一般化は, Margalef Roig と Outerelo Domínguez の [MO92] に書かれているらしい。

境界をある方法で潰した manifold with edge という概念もある。 [NSS09] では, そのK-theoryPoincaré duality が調べられている。

他の一般化としては, Joyce が考えているいくつかのものがある。

  • manifold with generalized corners [Joy16]
  • manifold with analytic corners [Joy]
  • \(C^{\infty }\)-scheme with corners [FJ24]

Gromov は [Gro14] で特異点を持つ多様体の positive scalar curvature を考えるために, cornered polyhedral domain という概念を導入しているが, そこでは点の近傍のモデルとして \(\R ^{k}\times [0,\infty )^{n-k}\) を仮定していないので, manifold with corners より一般的である。また, Joyce のもの程定義が複雑ではない。 ただ \(n\)次元の smooth manifold の部分空間である \(n\)次元部分空間として埋め込まれていることを仮定している。

角を持つ多様体の境界は, 余次元 \(1\) の面の和集合であるが, それらは余次元 \(2\) の面で貼り合さっている。更に, 余次元 \(2\) の面の共通部分は余次元3の面である。このように, 角を持つ多様体は, stratified space として考えるのが自然である。

Abouzaid [Abo] は, その stratified space としての構造を記述するための categorical structure として, model for manifolds with generalized corners という 種類の small category を導入している。 ちょっと長すぎるので, もっと簡潔な名前にした方がいいと思うが。 そして, それを用いて Kuranishi structure の一般化を定義している。 Kuranishi structure は, Fukaya と Ono により [FO99] で導入された構造である。

  • model for manifolds with generalized corners
  • model for manifolds with generalized corners \(\cQ \) に対し \(\cQ \)-manifold
  • Kuranishi structure

また stratification の構造を用いると, conormal homology というホモロジーが定義できる。

  • conormal homology

Carrillo Rouse と Lescure [CL18] によると, conormal homology を定義する chain complex は, Bunke の仕事 [Bun09] に登場したのが最初のようである。

Carrillo Rouse と Lescure と Velásquez [CLV21] は, \(b\)-compact operator の成す \(C^{*}\)-algebra\(K\)-homology から periodic conormal homology への Chern character に対応する写像を構成している。

Conormal homology は simplicial complex のホモロジーとして定義されるが, Schick と Velásquez [SV23] は, 任意の finite simplicial complex のホモロジーが, 角付き多様体の conormal homology として実現できることを示している。

角を持つ多様体を stratified space と考えるときの stratification を regular cell complex へ一般化することを Nanda [Nan20] が考えている。

  • regular cell complex の canonical stratification

各 cell の周りの様子を homology を使って区別することにより stratification を定義している。その stratification を求める algorithm を Asai と Shah [AS22] が考えている。

References

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