Differential cohomology

Cheeger-Simons の differential character の成す環を (ordinary) differential cohomology という。 類似のものとして, Deligne cohomology などがある。

一般コホモロジーに対しては, Freed が [Fre00] で, そして Hopkins と Singer が [HS05] で generalized differential cohomology を定義している。Freed の論文を読むとその motivation がよく分かる。 また, Bunke の lecture note [Bun] を見ると概観がつかめるかもしれない。

Szabo と Valentino の [SV10] にあるように, 単純化して言えば, 一般コホモロジー \(E^{*}(-)\) の differential version \(\breve{E}^{*}(-)\) とは, 次の pull-back diagram で定義されるものである。 \[ \xymatrix{ \breve{E}^*(M) \ar [r] \ar [d] & \Omega _{\mathrm{cl}}^*(M;E^*(*)\otimes \R ) \ar [d] \\ E^*(M) \ar [r]_{\mathrm{ch}} & H^*(M;E^*(*)\otimes \R ) } \] ここで, \(\Omega _{\mathrm{cl}}^*(M;E^*(*)\otimes \R )\) は, smooth manifold \(M\) 上の \(E^*(*)\otimes \R \) 係数の closed differential form の成すベクトル空間である。\(\mathrm{ch}\) は, \(\Q \) 上のベクトル空間に値を持つコホモロジーの Atiyah-Hirzebruch spectral sequence が \(E_2\)-term で collapse することから得られる写像で, \(K\)-theory の場合は, Chern character である。

Bunke と Schick は, [BS09] で, 一般コホモロジーの smooth extension という言葉を使っている。 また, Bunke と Schick [BS12] は一般コホモロジーの smooth extension の公理も述べている。[BS10] では multiplicative smooth extension の定義も与えている。

• Bunke と Schick の公理

Bunke と Schick は [BS10; BS] では, smooth extension の一意性について考えている。

Upmeier [Upm] は, この Bunke と Schick の公理の下での一意性を述べるのに, differential cohomology を symmetric monoidal groupoid に値を持つ functor とみなすべきだと主張している。

Bunke と Schick は, [Bun+09] では 複素コボルディズムの smooth extension を構成している。Ordinary integral cohomology の類似の記述については, Kreck と共に [BKS10] で stratifold を用いて与えている。

最もよく調べられているのは, \(K\)-theory の場合だろう。

• differential \(K\)-theory

群の作用がある場合, smooth Deligne cohomology の equivariant版 が Gomi [Gom05] により導入されている。Kübel と Thom [KT] はその改良版を提案している。Redden [Red] は Borel construction による equivariant cohomology の differential 版を定義している。

• equivariant differential cohomology

Grady と Sati [GS] は, stack を用いて Massey product を differential cohomology に拡張している。

対のコホモロジーの differential version もある。Christian Becker の [Bec] や Ruffino の [Rufb] など。

ホモロジーについては, Ruffino の [Rufa]がある。Jakob の [Jak98] が使われている。

• differential あるいは smooth homology

数理物理に現れるもう一つのコホモジーの一般化である twisted 版 を differential cohomology に導入しようという試みもある。

• twisted differential cohomology

References

[Bec]

Christian Becker. Relative differential cohomology. arXiv: 1310.2851.

[BKS10]

Ulrich Bunke, Matthias Kreck, and Thomas Schick. “A geometric description of differential cohomology”. In: Ann. Math. Blaise Pascal 17.1 (2010), pp. 1–16. arXiv: 0903.5290. url: http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2010__17_1_1_0.

[BS]

Ulrich Bunke and Thomas Schick. Corrigendum: Uniqueness of smooth extensions of generalized cohomology theories. arXiv: 1007.2788.

[BS09]

Ulrich Bunke and Thomas Schick. “Smooth \(K\)-theory”. In: Astérisque 328 (2009), 45–135 (2010). arXiv: 0707.0046.

[BS10]

Ulrich Bunke and Thomas Schick. “Uniqueness of smooth extensions of generalized cohomology theories”. In: J. Topol. 3.1 (2010), pp. 110–156. arXiv: 0901.4423. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtq002.

[BS12]

Ulrich Bunke and Thomas Schick. “Differential K-theory: a survey”. In: Global differential geometry. Vol. 17. Springer Proc. Math. Springer, Heidelberg, 2012, pp. 303–357. arXiv: 1011.6663. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-22842-1_11.

[Bun]

Ulrich Bunke. Differential cohomology. arXiv: 1208.3961.

[Bun+09]

Ulrich Bunke, Thomas Schick, Ingo Schröder, and Moritz Wiethaup. “Landweber exact formal group laws and smooth cohomology theories”. In: Algebr. Geom. Topol. 9.3 (2009), pp. 1751–1790. arXiv: 0711.1134. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2009.9.1751.

[Fre00]

Daniel S. Freed. “Dirac charge quantization and generalized differential cohomology”. In: Surveys in differential geometry. Surv. Differ. Geom., VII. Int. Press, Somerville, MA, 2000, pp. 129–194. arXiv: hep-th/0011220.

[Gom05]

Kiyonori Gomi. “Equivariant smooth Deligne cohomology”. In: Osaka J. Math. 42.2 (2005), pp. 309–337. arXiv: math/0307373. url: http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1153494380.

[GS]

Daniel Grady and Hisham Sati. Massey products in differential cohomology via stacks. arXiv: 1510.06366.

[HS05]

M. J. Hopkins and I. M. Singer. “Quadratic functions in geometry, topology, and M-theory”. In: J. Differential Geom. 70.3 (2005), pp. 329–452. arXiv: math/0211216. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1143642908.

[Jak98]

Martin Jakob. “A bordism-type description of homology”. In: Manuscripta Math. 96.1 (1998), pp. 67–80. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002290050054.

[KT]

Andreas Kübel and Andreas Thom. Equivariant Differential Cohomology. arXiv: 1510.06392.

[Red]

Corbett Redden. Differential Borel equivariant cohomology via connections. arXiv: 1602.06921.

[Rufa]

Fabio Ferrari Ruffino. Flat pairing and generalized Cheeger-Simons characters. arXiv: 1208.1288.

[Rufb]

Fabio Ferrari Ruffino. Relative (generalized) differential cohomology. arXiv: 1401.1029.

[SV10]

Richard J. Szabo and Alessandro Valentino. “Ramond-Ramond fields, fractional branes and orbifold differential \(K\)-theory”. In: Comm. Math. Phys. 294.3 (2010), pp. 647–702. arXiv: 0710.2773. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-009-0975-1.

[Upm]

Markus Upmeier. A Bicategory Approach to Differential Cohomology. arXiv: 1211.6832.