|
Cheeger-Simons の differential character の成す環を (ordinary) differential cohomology
という。 類似のものとして, Deligne cohomology などがある。
一般コホモロジーに対しては, Freed が [Fre00] で, そして Hopkins と Singer が [HS05] で generalized
differential cohomology を定義している。Freed の論文を読むとその motivation がよく分かる。 また, Bunke の
lecture note [Bun] を見ると概観がつかめるかもしれない。
Szabo と Valentino の [SV10] にあるように, 単純化して言えば, 一般コホモロジー \(E^{*}(-)\) の differential version \(\breve {E}^{*}(-)\)
とは, 次の pull-back diagram で定義されるものである。
\[ \xymatrix { \breve {E}^*(M) \ar [r] \ar [d] & \Omega _{\mathrm {cl}}^*(M;E^*(*)\otimes \R ) \ar [d] \\ E^*(M) \ar [r]_{\mathrm {ch}} & H^*(M;E^*(*)\otimes \R ) } \]
ここで, \(\Omega _{\mathrm {cl}}^*(M;E^*(*)\otimes \R )\) は, smooth manifold \(M\) 上の \(E^*(*)\otimes \R \) 係数の closed
differential form の成すベクトル空間である。\(\mathrm {ch}\) は, \(\Q \) 上のベクトル空間に値を持つコホモロジーの Atiyah-Hirzebruch
spectral sequence が \(E_2\)-term で collapse することから得られる写像で, \(K\)-theory の場合は, Chern character
である。
Bunke と Schick は, [BS09] で, 一般コホモロジーの smooth extension という言葉を使っている。 また,
Bunke と Schick [BS12] は一般コホモロジーの smooth extension の公理も述べている。[BS10] では
multiplicative smooth extension の定義も与えている。
Bunke と Schick は [BS10; BS] では, smooth extension の一意性について考えている。
Upmeier [Upm] は, この Bunke と Schick の公理の下での一意性を述べるのに, differential cohomology
を symmetric monoidal groupoid に値を持つ functor とみなすべきだと主張している。
具体的な例としては以下のようなものがある。
群の作用がある場合, smooth Deligne cohomology の equivariant版 が Gomi [Gom05]
により導入されている。Kübel と Thom [KT18] はその改良版を提案している。Redden [Red17] は Borel
construction による equivariant cohomology の differential 版を定義している。
- equivariant differential cohomology
Grady と Sati [GS18] は, stack を用いて Massey product を differential cohomology
に拡張している。
対のコホモロジーの differential version もある。Christian Becker の [Bec] や Ruffino の [Ruf15]
など。
ホモロジーについては, Ruffino の [Ruf17]がある。Jakob の [Jak98] が使われている。
- differential あるいは smooth homology
数理物理に現れるもう一つのコホモジーの一般化である twisted 版 を differential cohomology
に導入しようという試みもある。
Freed らの仕事 [Fre; FH21] により Anderson dual が topological phase の研究で使われるようになったが,
その differential extension を Yamashita ら [YY23; Yam23; Yam24] が考えている。
References
-
[Bec]
-
Christian Becker. Relative differential cohomology. arXiv:
1310.2851.
-
[Ber]
-
Daniel Berwick-Evans. Topological \(q\)-expansion and the
supersymmetric sigma model. arXiv: 1510.06464.
-
[BKS10]
-
Ulrich Bunke, Matthias Kreck, and Thomas Schick. “A geometric
description of differential cohomology”. In: Ann.
Math. Blaise Pascal 17.1 (2010), pp. 1–16. arXiv: 0903.5290. url:
http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2010__17_1_1_0.
-
[BS]
-
Ulrich Bunke and Thomas Schick. Corrigendum: Uniqueness
of smooth extensions of generalized cohomology theories. arXiv:
1007.2788.
-
[BS09]
-
Ulrich Bunke and Thomas Schick. “Smooth \(K\)-theory”. In: Astérisque
328 (2009), 45–135 (2010). arXiv: 0707.0046.
-
[BS10]
-
Ulrich Bunke and
Thomas Schick. “Uniqueness of smooth extensions of generalized
cohomology theories”. In: J. Topol. 3.1 (2010), pp. 110–156. arXiv:
0901.4423. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtq002.
-
[BS12]
-
Ulrich Bunke and Thomas Schick. “Differential K-theory: a survey”.
In: Global differential geometry. Vol. 17. Springer Proc. Math.
Springer, Heidelberg, 2012, pp. 303–357. arXiv: 1011.6663. url:
https://doi.org/10.1007/978-3-642-22842-1_11.
-
[BT15]
-
Ulrich Bunke and Georg Tamme. “Regulators and cycle maps
in higher-dimensional differential algebraic \(K\)-theory”. In: Adv.
Math. 285 (2015), pp. 1853–1969. arXiv: 1209.6451. url:
https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.08.004.
-
[Bun]
-
Ulrich Bunke. Differential cohomology. arXiv: 1208.3961.
-
[Bun+09]
-
Ulrich Bunke, Thomas Schick, Ingo Schröder, and Moritz Wiethaup.
“Landweber exact
formal group laws and smooth cohomology theories”. In: Algebr.
Geom. Topol. 9.3 (2009), pp. 1751–1790. arXiv: 0711.1134. url:
http://dx.doi.org/10.2140/agt.2009.9.1751.
-
[FH21]
-
Daniel S. Freed and Michael J. Hopkins. “Reflection positivity and
invertible topological phases”. In:
Geom. Topol. 25.3 (2021), pp. 1165–1330. arXiv: 1604.06527. url:
https://doi.org/10.2140/gt.2021.25.1165.
-
[Fre]
-
Daniel S. Freed. Short-range entanglement and invertible field
theories. arXiv: 1406.7278.
-
[Fre00]
-
Daniel S. Freed. “Dirac charge quantization and generalized
differential cohomology”. In: Surveys in differential geometry. Surv.
Differ. Geom., VII. Int. Press, Somerville, MA, 2000, pp. 129–194.
arXiv: hep-th/0011220.
-
[Gom05]
-
Kiyonori Gomi. “Equivariant smooth Deligne cohomology”. In:
Osaka J. Math. 42.2 (2005), pp. 309–337. arXiv: math/0307373.
url: http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1153494380.
-
[GS18]
-
Daniel Grady and Hisham Sati. “Massey products in differential
cohomology via stacks”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 13.1 (2018),
pp. 169–223. arXiv: 1510.06366. url:
https://doi.org/10.1007/s40062-017-0178-y.
-
[HS05]
-
M. J. Hopkins and I. M. Singer. “Quadratic functions in geometry,
topology, and M-theory”. In: J.
Differential Geom. 70.3 (2005), pp. 329–452. arXiv: math/0211216.
url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1143642908.
-
[Jak98]
-
Martin Jakob. “A bordism-type description
of homology”. In: Manuscripta Math. 96.1 (1998), pp. 67–80. url:
http://dx.doi.org/10.1007/s002290050054.
-
[KT18]
-
Andreas
Kübel and Andreas Thom. “Equivariant differential cohomology”.
In: Trans. Amer. Math. Soc. 370.11 (2018), pp. 8237–8283. arXiv:
1510.06392. url: https://doi.org/10.1090/tran/7315.
-
[Red17]
-
Corbett Redden.
“Differential Borel equivariant cohomology via connections”. In: New
York J. Math. 23 (2017), pp. 441–487. arXiv: 1602.06921. url:
http://nyjm.albany.edu:8000/j/2017/23_441.html.
-
[Ruf15]
-
Fabio Ferrari Ruffino. “Relative differential cohomology”. In:
J. Homotopy Relat. Struct. 10.4 (2015), pp. 923–937. arXiv:
1401.1029. url: https://doi.org/10.1007/s40062-014-0088-1.
-
[Ruf17]
-
Fabio Ferrari Ruffino. “Flat pairing and generalized Cheeger-Simons
characters”. In: J. Homotopy
Relat. Struct. 12.1 (2017), pp. 143–168. arXiv: 1208.1288. url:
https://doi.org/10.1007/s40062-015-0124-9.
-
[SS22]
-
Hisham Sati and
Urs Schreiber. “Differential cohomotopy implies intersecting brane
observables via configuration spaces and chord diagrams”. In: Adv.
Theor. Math. Phys. 26.4 (2022), pp. 957–1051. arXiv: 1912.10425.
url: https://doi.org/10.4310/atmp.2022.v26.n4.a4.
-
[SV10]
-
Richard J. Szabo and Alessandro Valentino. “Ramond-Ramond
fields, fractional branes and orbifold differential \(K\)-theory”. In: Comm.
Math. Phys. 294.3 (2010), pp. 647–702. arXiv: 0710.2773. url:
http://dx.doi.org/10.1007/s00220-009-0975-1.
-
[Upm]
-
Markus Upmeier. A Bicategory Approach to Differential
Cohomology. arXiv: 1211.6832.
-
[Yam23]
-
Mayuko Yamashita. “Differential models for the Anderson dual to
bordism theories and invertible QFT’s, II”. In: J. Gökova Geom.
Topol. GGT 16 (2023), pp. 65–97. arXiv: 2110.14828.
-
[Yam24]
-
Mayuko Yamashita. “Invertible QFTs and differential Anderson
duals”. In: String-Math 2022. Vol. 107. Proc. Sympos. Pure Math.
Amer. Math. Soc., Providence, RI, [2024] ©2024, pp. 277–294. isbn:
[9781470472405]; [9781470476755]. arXiv: 2304.08833.
-
[YY23]
-
Mayuko Yamashita and Kazuya Yonekura. “Differential models for
the Anderson dual to bordism theories and invertible QFT’s, I”.
In: J. Gökova Geom. Topol. GGT 16 (2023), pp. 1–64. arXiv:
2106.09270.
|
