Examples of Grothendieck Topologies

Grothendieck topology を代数的トポロジーに使ったものとしては以下の仕事がある。

• Mark Johnson による spectrum や多重ループ空間の定義。
• Hopf algebroid は affine groupoid scheme であり, Hopf algebroid 上の comodule はその groupoid scheme 上の quasi-coherent sheaf とみなせる。[Hov02]
• Pstragowski [Pst23] の synthetic spectrum の定義。

代数的トポロジーの伝統的な研究対象とは言えないかもしれないが, local pospace の圏を埋め込むための model category を構成するため [BW06; Wor10] にも使われている。

Poset 上の Grothendieck topology を調べたものとして, Lindenhovius の [Lin] がある。 その拡張が Hemelaer [Hem] により得られている。

• Grothendieck topologies on posets

Grothendieck topology を位相の一般化と考えたときに, 点がとれないことが位相空間との大きな違いであることを指摘し, より位相空間に近い ionad という概念を考えているのは, Garner [Gar12] である。

もちろん, 元々は 代数幾何の文脈で, Grothendieck が導入したものであり, Zariski site と étale site が代表的な例である。Voevodsky の \(\mathbb {A}^1\)-homotopy では, その中間に位置する Nisnevich site が使われている。 他にも様々な Grothendieck topology が代数幾何では使われている。

• Grothendieck topologies in algebraic geometry

可微分多様体の場合は, Metzler の [Met] などがある。 角付き多様体の場合は, Bunke らの [BNV16] がある。

Balmer [Bal15] は, 有限群の表現の成す圏を調べるために, finite \(G\)-set の圏に Grothendieck topology を定義している。

有限群の表現に関連したものとしては, Fei Xu らの [XX22; WX23] などで考えられているものがある。

Fei Xu らの [Di+] では, atomic topology を持つ site 上の module の sheaf と small category の表現や topological group の discrete representation との関係が調べられている。

• atomic topology

Atomic topology とは, right Ore condition をみたす small category 上に定義される Grothendieck topology で, [Di+] では, Artin の lecture notes [Art62]. Milne の本 [Mil80] の II.1.9, Mac Lane と Moerdijk の本 [MM94] の III.9 の Theorem 1 と 2 が参照されている。

Coarse space の場合は, Schmidt [Sch99] や Hartmann [Har20; Har] により考えられている。

Connes と Consani は [CC14] で Riemann hypothesis への非可換幾何学的アプローチとして arithmetic site を導入した。 Le Bruyn [Bru] は arithmetic site に関連した site を2つ導入している。

• arithmetic site
• Belyi site
• Conway site.

Connes と Consani は arithmetic site の Boolean semifield から tropical semifield への extension of scalars として, [CC16; CC17] で scaling site を導入している。

• scaling site

References

[Art62]

Michael Artin. Grothendieck Topologies. Notes on a Seminar by M. Artin, Spring, 1962. 1962. url: http://www.math.ubc.ca/~gor/Artin-GT.pdf.

[Bal15]

Paul Balmer. “Stacks of group representations”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 17.1 (2015), pp. 189–228. arXiv: 1302.6290. url: https://doi.org/10.4171/JEMS/501.

[BNV16]

Ulrich Bunke, Thomas Nikolaus, and Michael Völkl. “Differential cohomology theories as sheaves of spectra”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 11.1 (2016), pp. 1–66. arXiv: 1311.3188. url: https://doi.org/10.1007/s40062-014-0092-5.

[Bru]

Lieven Le Bruyn. Three arithmetic sites. arXiv: 2003.01387.

[BW06]

Peter Bubenik and Krzysztof Worytkiewicz. “A model category for local po-spaces”. In: Homology, Homotopy Appl. 8.1 (2006), pp. 263–292. arXiv: math/0506352.

[CC14]

Alain Connes and Caterina Consani. “The arithmetic site”. In: C. R. Math. Acad. Sci. Paris 352.12 (2014), pp. 971–975. arXiv: 1405.4527. url: https://doi.org/10.1016/j.crma.2014.07.009.

[CC16]

Alain Connes and Caterina Consani. “The scaling site”. In: C. R. Math. Acad. Sci. Paris 354.1 (2016), pp. 1–6. arXiv: 1507.05818. url: https://doi.org/10.1016/j.crma.2015.09.027.

[CC17]

Alain Connes and Caterina Consani. “Geometry of the scaling site”. In: Selecta Math. (N.S.) 23.3 (2017), pp. 1803–1850. arXiv: 1603.03191. url: https://doi.org/10.1007/s00029-017-0313-y.

[Di+]

Zhenxing Di, Liping Li, Li Liang, and Fei Xu. Sheaves of modules on atomic sites and discrete representations of topological groups. arXiv: 2108.13600.

[Gar12]

Richard Garner. “Ionads”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.8-9 (2012), pp. 1734–1747. arXiv: 0912.1415. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.02.013.

[Har]

Elisa Hartmann. Coarse sheaf cohomology. arXiv: 2205.01635.

[Har20]

Elisa Hartmann. “Coarse cohomology with twisted coefficients”. In: Math. Slovaca 70.6 (2020), pp. 1413–1444. arXiv: 1710.06725. url: https://doi.org/10.1515/ms-2017-0440.

[Hem]

Jens Hemelaer. Grothendieck topologies on posets. arXiv: 1811.10039.

[Hov02]

Mark Hovey. “Morita theory for Hopf algebroids and presheaves of groupoids”. In: Amer. J. Math. 124.6 (2002), pp. 1289–1318. url: http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v124/124.6hovey.pdf.

[Lin]

Bert Lindenhovius. Grothendieck topologies on a poset. arXiv: 1405.4408.

[Met]

David Metzler. Topological and Smooth Stacks. arXiv: math/0306176.

[Mil80]

James S. Milne. Étale cohomology. Vol. 33. Princeton Mathematical Series. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1980, pp. xiii+323. isbn: 0-691-08238-3.

[MM94]

Saunders Mac Lane and Ieke Moerdijk. Sheaves in geometry and logic. Universitext. A first introduction to topos theory, Corrected reprint of the 1992 edition. New York: Springer-Verlag, 1994, pp. xii+629. isbn: 0-387-97710-4.

[Pst23]

Piotr Pstragowski. “Synthetic spectra and the cellular motivic category”. In: Invent. Math. 232.2 (2023), pp. 553–681. arXiv: 1803.01804. url: https://doi.org/10.1007/s00222-022-01173-2.

[Sch99]

Alexander Schmidt. “Coarse geometry via Grothendieck topologies”. In: Math. Nachr. 203 (1999), pp. 159–173. url: https://doi.org/10.1002/mana.1999.3212030111.

[Wor10]

Krzysztof Worytkiewicz. “Sheaves of ordered spaces and interval theories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 5.1 (2010), pp. 37–61. arXiv: 0808.1820.

[WX23]

Mawei Wu and Fei Xu. “Skew category algebras and modules on ringed finite sites”. In: J. Algebra 631 (2023), pp. 194–217. arXiv: 2207.04731. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2023.04.026.

[XX22]

Tengfei Xiong and Fei Xu. “On sheaves in finite group representations”. In: J. Pure Appl. Algebra 226.10 (2022), Paper No. 107085, 14. arXiv: 2010.10372. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2022.107085.