Additive and Semiadditive Categories

古典的な ホモロジー代数の基礎となるのは, Abelian category であるが, その定義では, まず additive category であることが要求される。 まず, morphism の和と差が取れること, つまり Abel 群の category で enrich された category であることが必要であるが, そのようなものを preadditive category と呼んだりする。より一般に, 可換環上の module の category で enrich された category で考えることも多い。

• preadditive category
• 可換環 \(k\) 上の linear category

更に, 有限個の coproduct で閉じているものを additive category という。 基本的な性質として, 2つの object の coproduct が product と一致する, ということがある。この性質を取り出して, semiadditive category の概念が定義される。例えば Lack の [Lac12] に登場する。 Lack は Mac Lane の本 [Mac98] を参照しているが, Mac Lane の本にはこの言葉は現れないように思う。

• semiadditive category

これは disctete diagram の colimit と limit が同型になるということと解釈できる。一方, equivariant stable homotopy theory では, 群 \(G\) の作用する spectrum \(X\) に対し norm map と呼ばれる homotopy quotient (Borel construction) から homotopy fixed point への写像

が重要な役割を果している。もちろん, norm map は一般にはホモトピー同値にはならないが, Kuhn [Kuh04] は, 任意の有限群 \(G\) に対し, \(T(n)\)-localize した球面スペクトラム \(L_{T(n)}S\) に対しては, \(T(n)\)-local に同値になることを示している。ここで \(T(n)\) は \(v_{n}\)-self map の telescope である。

Hopkins と Lurie [HL]は, この事実を一般化された semiadditivity と chromatic homotopy theory の間の関係と解釈し, \((\infty ,1)\)-category の文脈で高次の semiadditivity の概念に拡張している。

• higher semiadditivity

Additive category や preadditive category の条件を弱めたものとして, left additive category の概念が Blute ら [BCS09] により定義されている。彼等の Cartesian differential category の理論のためである。

• left additive category

\((\infty ,2)\)-category の文脈では, Christ と Dyckerhoff と Walde [CDW] による lax (semi)additivity がある。

• lax semiadditive \((\infty ,2)\)-category
• lax additive \((\infty ,2)\)-category

References

[BCS09]

R. F. Blute, J. R. B. Cockett, and R. A. G. Seely. “Cartesian differential categories”. In: Theory Appl. Categ. 22 (2009), pp. 622–672.

[CDW]

Merlin Christ, Tobias Dyckerhoff, and Tashi Walde. Lax Additivity. arXiv: 2402.12251.

[HL]

Michael Hopkins and Jacob Lurie. Ambidexterity in \(K(n)\)-Local Stable Homotopy Theory. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/Ambidexterity.pdf.

[Kuh04]

Nicholas J. Kuhn. “Tate cohomology and periodic localization of polynomial functors”. In: Invent. Math. 157.2 (2004), pp. 345–370. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-003-0354-z.

[Lac12]

Stephen Lack. “Non-canonical isomorphisms”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.3 (2012), pp. 593–597. arXiv: 0912.2126. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2011.07.012.

[Mac98]

Saunders Mac Lane. Categories for the working mathematician. Second. Vol. 5. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1998, pp. xii+314. isbn: 0-387-98403-8.