Diffeology やそれに類する構造

Macias-Virgos と Sanmartin-Carbon [MS] によると, diffeological space の概念は, Souriau [Sou80; Sou84] により導入された。その後, Souriau の学生だった Iglesias-Zemmour らによって理論が構築されている。特に, Iglesias-Zemmour は, [Igl13] という本を書いている。 同様のアプローチは K.-T. Chen [Che77; Che86] によっても発見されているが。

• Chen’s differentiable space
• diffeological space

Souriau の diffeology は, 何となく Grothendieck topology の定義と似ている。

実際, Baez と Hoffnung [BH11] は, diffeological space の圏が (様々な次元の) Euclid 空間の開集合と smooth map の成す site 上の集合に値を持つ concrete sheaf の圏と同値であることを示している。

• concrete sheaf

この \(n\)-Category Café の post, そして Baez と Hoffnung の [BH11] にもあるように, 元々の目的は smooth manifold の category を “convenient category” にすることだった。

Baez と Hoffnung の記述では, 全ての open covering による Grothendieck topology に関する sheaf を用いているが, Sati と Schreiber [SS] は, 共通部分が空か 1つのEuclid空間と同相になるような good open cover による Grothendieck topology を用いている。

また, 元になる category も, object を \(\{\R ^{n}\}_{n\ge 0}\) だけに制限することもできるし, 逆に有限次元可微分多様体に拡大することもできる。この3種類の category とその上の 2種類の Grothendieck topology の組み合せで, 全部で6種類の diffeological space の categroy のモデルが考えられるが, それらが全て同値であることの証明が, Michiello の [Min] の section 3 に書かれている。

位相空間に対しては, canonical な diffeology が定義され, 逆に diffeology を持つ集合には, \(D\)-topology と呼ばれる位相が定義されるが, 位相空間 \(X\) が \(D\)-topology を持つための必要十分条件は \(\Delta \)-generated であることが, Shimakawa と Yoshida と Haraguchi [SYH18] と Christensen と Sinnamon と Wu [CSW14] により示されている。 Shimakawa らの論文では \(\Delta \)-generated space は numerically generated space と呼ばれているが。 このことから, diffeological space の圏と対応する位相空間としては, \(\Delta \)-generated space の圏を使うべきであることが分かる。

これらのことを含めた知られていることをまとめたものとして, Sati と Schreiber の本 [SS] の §0.1 の図が分り易い。

少し異なる視点からは, Watts と Wolbert が多様体上の stack の圏との比較を行なっている。 共に多様体の一般化として導入されたものなので, 関連があっても不思議ではない。

具体的な例としては, foliated manifold から作られたもの (Macias-Virgos らの [MS; HMS11]) や orbifold から作られたもの (Iglesias と Karshon と Zadka の [IKZ10]) などがある。

Botós [Bot] は, orbifold 上の fiber bundle の理論を構築するために用いている。 他にも, diffeological vector pseudo-bundle [CW23; Wu23] という概念も導入されている。

多様体の一般化として考えたときには, de Rham 理論があるとよいが, de Rham complex は, 既に Souriau [Sou80] が考えている。 それと singular cohomology を比較するために, Kuribayashi [Kur20] は singular de Rham complex というものを導入している。 Souriau の de Rham complex との比較は [Kur21] で行なわれている。

主束の分類定理の diffeological group に対する類似を Magnot と Watts [MW17] が証明している。

• diffeological group

Oh と Tanaka [OT22] は, smooth manifold の diffeomorphism group のような, 無限次元の smooth group の分類空間の smooth approximation のために用いている。

ベクトル空間の上の diffeology を考えた diffeological vector space というものもある。

• diffeological vector space

そのホモロジー代数を Wu [Wu15] が考えている。

Chen の differentiable space と同じ名前で Irie [Iri18] により導入されたものもある。その目的は Chas-Sullivan product の chain level の構成である。

References

[BH11]

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[Bot]

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[Che77]

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[Che86]

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[CSW14]

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[CW23]

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[IKZ10]

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[Wu15]

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[Wu23]

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