非可換多様体の例

非可換トポロジー (非可換幾何学) は, 枠組みとしては理解しやすい。可換な \(C^*\)-algebra とコンパクト Hausdorff 空間の間の対応や scheme と可換環の対応を知っていれば。 しかしながら, 非可換化するために「代数化」してしまうと幾何学的なイメージがつかみづらくなる。

もちろん非可換多様体の具体的な例も色々と発見されている。Connes と Landi の [CL01] や Connes と Dubois Violette の [CD02] などである。 Euclid 空間については, Pirkovskii の [Pir], Kupriyanov と Vitale の [KV], Dubois-Violette と Landi の [DL] などがある。

• noncommutative Euclidean space

Euclid 空間の次は球面であるが, 非可換球面にも様々な種類がある。

• noncommutative spheres

Passer [Pas] は, Natsume-Olsen sphere [NO97] と呼ばれるものに対し, Borsuk-Ulam の定理の類似を証明している。

• noncommutative Borsuk-Ulam theorem

最も有名なモデルは, Podleś [Pod87] により導入された, Podleś spheres だろう。 この MathOverflow の質問に対する Ciccoli の回答がとても参考になる。

• Podleś spheres

Connes と Dubois-Violette は, [CD08] で, noncommutative \(3\)次元球面について詳しく調べている。 その解説が, Bellon の [Bel] である。 低次元球面 \(S^1, S^2, S^3\) の quantum version については Dabrowski の [Dab03; Dab06] が見やすい。

Plazas の [Pla] では球面の他にトーラスが扱われている。

• noncommutative torus

次に調べられているのが, 射影空間だろうか。 D’Andrea と Dabrowski と Landi は quantum projective plane の\(K\)-theory などを [DDL08] で調べている。Noncommutative (quantum) projective space の構成としては, Hajac と Kaygun と Zielinski の [HKZ] や Buachalla の [Ó B12] がある。 複素射影空間の非可換版を その上の複素構造も含めて考えているのは, D’Andrea と Landi [DL13] である。 Brzezinski と Fairfax [BF12] は quantum weighted projective space を構成している。

• noncommutative projective space
• noncommutative weighted projective space

Grassmann 多様体の quantum version についても, pいくつかの構成があるらしい。Lakshmibai と Reshetikhin の [LR91] など。Chakraborty と Sundar [CS11] によると, Stiefel 多様体の非可換版は, Podkolzin と Vainerman [PV99] により定義されたようである。Chakraborty らは, その\(K\)-theory を計算している。

• noncommutative Grassmannian manifold
• noncommutative Stiefel manifold

References

[Bel]

Marc Bellon. Lectures on the three–dimensional non–commutative spheres. arXiv: 0710.4434.

[BF12]

Tomasz Brzeziński and Simon A. Fairfax. “Quantum teardrops”. In: Comm. Math. Phys. 316.1 (2012), pp. 151–170. arXiv: 1107.1417. url: https://doi.org/10.1007/s00220-012-1580-2.

[CD02]

Alain Connes and Michel Dubois-Violette. “Noncommutative finite-dimensional manifolds. I. Spherical manifolds and related examples”. In: Comm. Math. Phys. 230.3 (2002), pp. 539–579. arXiv: math/0107070. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-002-0715-2.

[CD08]

Alain Connes and Michel Dubois-Violette. “Noncommutative finite dimensional manifolds. II. Moduli space and structure of noncommutative 3-spheres”. In: Comm. Math. Phys. 281.1 (2008), pp. 23–127. arXiv: math/0511337. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-008-0472-y.

[CL01]

Alain Connes and Giovanni Landi. “Noncommutative manifolds, the instanton algebra and isospectral deformations”. In: Comm. Math. Phys. 221.1 (2001), pp. 141–159. url: http://dx.doi.org/10.1007/PL00005571.

[CS11]

Partha Sarathi Chakraborty and S. Sundar. “\(K\)-groups of the quantum homogeneous space \(\mathrm {SU}_q(n)/\mathrm {SU}_q(n-2)\)”. In: Pacific J. Math. 252.2 (2011), pp. 275–292. arXiv: 1006.1742. url: https://doi.org/10.2140/pjm.2011.252.275.

[Dab03]

Ludwik Dabrowski. “The garden of quantum spheres”. In: Noncommutative geometry and quantum groups (Warsaw, 2001). Vol. 61. Banach Center Publ. Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 2003, pp. 37–48. arXiv: math/0212264. url: https://doi.org/10.4064/bc61-0-3.

[Dab06]

Ludwik Dabrowski. “Geometry of quantum spheres”. In: J. Geom. Phys. 56.1 (2006), pp. 86–107. arXiv: math / 0501240. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.geomphys.2005.04.003.

[DDL08]

Francesco D’Andrea, Ludwik Dabrowski, and Giovanni Landi. “The noncommutative geometry of the quantum projective plane”. In: Rev. Math. Phys. 20.8 (2008), pp. 979–1006. eprint: \href{http://arxiv.org/abs/0712.3401}{arXiv:0712.3401}. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129055X08003493.

[DL]

Michel Dubois-Violette and Giovanni Landi. Noncommutative Euclidean spaces. arXiv: 1801.03410.

[DL13]

Francesco D’Andrea and Giovanni Landi. “Geometry of quantum projective spaces”. In: Noncommutative geometry and physics. 3. Vol. 1. Keio COE Lect. Ser. Math. Sci. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2013, pp. 373–416. arXiv: 1203 . 0621. url: https://doi.org/10.1142/9789814425018_0014.

[HKZ]

Piotr M. Hajac, Atabey Kaygun, and Bartosz Zielinski. Quantum projective space from Toeplitz cubes. arXiv: 1008.0673.

[KV]

V. G. Kupriyanov and P. Vitale. Noncommutative \(\R ^d\) via closed star product. arXiv: 1502.06544.

[LR91]

V. Lakshmibai and N. Reshetikhin. “Quantum deformations of \(\mathrm {SL}_{n}/B\) and its Schubert varieties”. In: Special functions (Okayama, 1990). ICM-90 Satell. Conf. Proc. Tokyo: Springer, 1991, pp. 149–168.

[NO97]

T. Natsume and C. L. Olsen. “Toeplitz operators on noncommutative spheres and an index theorem”. In: Indiana Univ. Math. J. 46.4 (1997), pp. 1055–1112. url: https://doi.org/10.1512/iumj.1997.46.1152.

[Ó B12]

Réamonn Ó Buachalla. “Quantum bundle description of quantum projective spaces”. In: Comm. Math. Phys. 316.2 (2012), pp. 345–373. arXiv: 1105.1768. url: https://doi.org/10.1007/s00220-012-1577-x.

[Pas]

Benjamin Passer. A Noncommutative Borsuk-Ulam Theorem for Natsume-Olsen Spheres. arXiv: 1503.01822.

[Pir]

A. Yu. Pirkovskii. Quantum polydisk, quantum ball, and a q-analog of Poincaré’s theorem. arXiv: 1311.0309.

[Pla]

Jorge Plazas. Examples of noncommutative manifolds: complex tori and spherical manifolds. arXiv: math/0703849.

[Pod87]

P. Podleś. “Quantum spheres”. In: Lett. Math. Phys. 14.3 (1987), pp. 193–202. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00416848.

[PV99]

G. B. Podkolzin and L. I. Vainerman. “Quantum Stiefel manifold and double cosets of quantum unitary group”. In: Pacific J. Math. 188.1 (1999), pp. 179–199. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.1999.188.179.