Cluster Complexes and Related Topics

Fomin と Zelevinsky [CFZ02; FZ03] は, root 系 \(\Phi \) に対して 単体的複体 \(\Delta (\Phi )\) を構成した。彼等は complete simplicial fan も構成している。

• cluster complex
• cluster fan

Cluster fan の dual simplicial complex が cluster complex になっているので, cluster complex は球面の単体分割になっている。 Fomin と Zelevinsky は, cluster fan がある convex polytope の normal fan になっていることを予想したが, それは Chapoton と Fomin と Zelevinsky [CFZ02] により証明されている。その convex polytope は Stasheff の associahedron の一般化になっているので generalized associahedron と呼ばれているが, あまり良い名前ではないと思う。

• generalized associahedron

また cluster complex や cluster fan のことも generalized associahedron と呼ばれることがあるのでややこしい。

これらのこと, そして cluster algebra との関連については, Fomin と Reading の [FR07] を見るのが良いと思う。

Stasheff の associahedron と Bott-Taubes の cyclohedron の一般化になっている点では, graph-associahedron と同じである。 これらの関係はどうなっているのだろう。

Quiver の表現を用いた cluster fan の解釈が, Marsh と Reineke と Zelevinsky の [MRZ03] にある。更に Zhu の [Zhu] では, (高次の) cluster category を用いることにより, infinite root system への generalized cluster complex の一般化が得られている。Generalized cluster complex とは, Fomin と Reading が [math/0505085] で導入したものである。

このような 組み合せ論的対象を調べるのに, triangulated category などの ホモロジー代数的道具が有効に用いられているのは, 興味深い。

もちろん, 組み合せ論的な視点からも調べられている。 Athanasiadis, Brady, McCammond, Watt の [Ath+06] では, generalized cluster complex の \(h\)-vector が調べられている。Athanasiadis と Tzanaki の [AT08] では, shellability や Cohen-Macauley 性について調べられている。

関連したこととして以下のようなものがある。

• cluster algebra
• noncrossing partition

References

[AT08]

Christos A. Athanasiadis and Eleni Tzanaki. “Shellability and higher Cohen-Macaulay connectivity of generalized cluster complexes”. In: Israel J. Math. 167 (2008), pp. 177–191. arXiv: math/0606018. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11856-008-1046-6.

[Ath+06]

Christos A. Athanasiadis, Thomas Brady, Jon McCammond, and Colum Watt. “\(h\)-vectors of generalized associahedra and noncrossing partitions”. In: Int. Math. Res. Not. (2006), Art. ID 69705, 28. arXiv: math/0602293. url: http://dx.doi.org/10.1155/IMRN/2006/69705.

[CFZ02]

Frédéric Chapoton, Sergey Fomin, and Andrei Zelevinsky. “Polytopal realizations of generalized associahedra”. In: Canad. Math. Bull. 45.4 (2002). Dedicated to Robert V. Moody, pp. 537–566. arXiv: math/0202004. url: http://dx.doi.org/10.4153/CMB-2002-054-1.

[FR07]

Sergey Fomin and Nathan Reading. “Root systems and generalized associahedra”. In: Geometric combinatorics. Vol. 13. IAS/Park City Math. Ser. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 63–131. arXiv: math/0505518.

[FZ03]

Sergey Fomin and Andrei Zelevinsky. “\(Y\)-systems and generalized associahedra”. In: Ann. of Math. (2) 158.3 (2003), pp. 977–1018. arXiv: hep-th/0111053. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2003.158.977.

[MRZ03]

Robert Marsh, Markus Reineke, and Andrei Zelevinsky. “Generalized associahedra via quiver representations”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 355.10 (2003), pp. 4171–4186. arXiv: math/0205152. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-03-03320-8.

[Zhu]

Bin Zhu. Generalized cluster complexes via quiver representations. arXiv: math/0607155.