Derived Differential Geometry

Derived algebraic geometry の 微分幾何版もある。 主に, 物理からの要請により考えられたようである。

一つは, David Spivak [Spi10] による derived manifold である。 この\(n\)-Category Café の post でも紹介されている。

• derived manifold

Spivak は, Kontsevich の多様体の intersection に関する仕事 [Kon95] と Lurie の derived algebraic geometry に触発されたようであるが, Kontsevich のアイデアに基づくものとして, Ciocan-Fontanine と Kapranov の dg manifold [CK01; CK02; CK09] もある。

• dg manifoldやdg scheme

別の方向からのアプローチとしては, Joyceの d-manifold [Joy14; Joy] がある。 元になっているのは, Dubuc の \(C^{\infty }\)-scheme [Dub81] や synthetic differential geometry のようである。

• d-manifold

Joyce の書いたものは, ここから downloadできる。執筆中の本も download できる。

Derived manifold と d-manifold を比較したものとして, Borisov の [Bor] がある。

他のアイデアとして, Costello [Cos11] による \(L_{\infty }\)-space がある。Gwilliam と Grady の [GG15] では, その上の vector bundle や shifted symplectic form などが定義されている。

• \(L_{\infty }\)-space

もっとも, shifted symplectic structure は, Pantevらの [Pan+13] でもっと一般的な形で導入されたものである。 その続編 [Cal+17]では, shifted Poisson structure が導入されている。

• derived Artin stack
• shifted symplectic structure
• shifted Poisson structure

\(L_{\infty }\)-structureを用いたものとしては, Behrend, Liao, Xu の dg manifold of positive amplitude [BLX] もある。彼等は, [BLX24] で dg manifold of positive amplitude が category of fibrant objects を成すことを示している。

• dg manifold of (finite) positive amplitude

Derived analytic geometry を考えている人もいる。 Bambozzi, Ben-Bassat, Kremnizer の [BBK18] など。

• derived analytic geometry

References

[BBK18]

Federico Bambozzi, Oren Ben-Bassat, and Kobi Kremnizer. “Stein domains in Banach algebraic geometry”. In: J. Funct. Anal. 274.7 (2018), pp. 1865–1927. arXiv: 1511.09045. url: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2018.01.003.

[BLX]

Kai Behrend, Hsuan-Yi Liao, and Ping Xu. Derived Differentiable Manifolds. arXiv: 2006.01376.

[BLX24]

Kai Behrend, Hsuan-Yi Liao, and Ping Xu. “Differential graded manifolds of finite positive amplitude”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 8 (2024), pp. 7160–7200. arXiv: 2307.10242. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnae023.

[Bor]

Dennis Borisov. Derived manifolds and Kuranishi models. arXiv: 1212.1153.

[Cal+17]

Damien Calaque, Tony Pantev, Bertrand Toën, Michel Vaquié, and Gabriele Vezzosi. “Shifted Poisson structures and deformation quantization”. In: J. Topol. 10.2 (2017), pp. 483–584. arXiv: 1506.03699.

[CK01]

Ionuţ Ciocan-Fontanine and Mikhail Kapranov. “Derived Quot schemes”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 34.3 (2001), pp. 403–440. arXiv: math/9905174. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0012-9593(01)01064-3.

[CK02]

Ionuţ Ciocan-Fontanine and Mikhail M. Kapranov. “Derived Hilbert schemes”. In: J. Amer. Math. Soc. 15.4 (2002), pp. 787–815. arXiv: math/0005155. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-02-00399-5.

[CK09]

Ionuţ Ciocan-Fontanine and Mikhail Kapranov. “Virtual fundamental classes via dg-manifolds”. In: Geom. Topol. 13.3 (2009), pp. 1779–1804. arXiv: math/0703214. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2009.13.1779.

[Cos11]

Kevin Costello. Renormalization and effective field theory. Vol. 170. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011, pp. viii+251. isbn: 978-0-8218-5288-0. url: https://doi.org/10.1090/surv/170.

[Dub81]

Eduardo J. Dubuc. “\(C^{\infty }\)-schemes”. In: Amer. J. Math. 103.4 (1981), pp. 683–690. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374046.

[GG15]

Ryan Grady and Owen Gwilliam. “\(L_\infty \) spaces and derived loop spaces”. In: New York J. Math. 21 (2015), pp. 231–272. arXiv: 1404.5426. url: http://nyjm.albany.edu:8000/j/2015/21_231.html.

[Joy]

Dominic Joyce. D-manifolds, d-orbifolds and derived differential geometry: a detailed summary. arXiv: 1208.4948.

[Joy14]

Dominic Joyce. “An introduction to d-manifolds and derived differential geometry”. In: Moduli spaces. Vol. 411. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2014, pp. 230–281. arXiv: 1206.4207.

[Kon95]

Maxim Kontsevich. “Enumeration of rational curves via torus actions”. In: The moduli space of curves (Texel Island, 1994). Vol. 129. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1995, pp. 335–368. arXiv: hep-th/9405035.

[Pan+13]

Tony Pantev, Bertrand Toën, Michel Vaquié, and Gabriele Vezzosi. “Shifted symplectic structures”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 117 (2013), pp. 271–328. arXiv: 1111.3209. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10240-013-0054-1.

[Spi10]

David I. Spivak. “Derived smooth manifolds”. In: Duke Math. J. 153.1 (2010), pp. 55–128. arXiv: 0810.5174. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-2010-021.