非可換微分幾何学

Connes が非可換な空間を考えるに至った動機の一つは, 非可換微分幾何学を行なうことである。例えば, cyclic homology は de Rham cohomology の定義を可換とは限らない \(C^*\)-algebra に対して拡張するために導入された。 \(C^*\)-algebra に対しては, \(K\)-theory も定義できる。

• cyclic homology
• Chern character の一般化
• \(C^*\)-algebra の \(K\)-theory

多様体の de Rham cohomology や vector field との関係については, 例えば, [NT99] や [MS06] を見るとよい。

微分幾何学の非可換版と言うからには, Riemann 多様体の類似が定義できるべきである。 それに対するアプローチとしては, 作用素環によるものと, 代数的なものがある。

Lai の [Lai] によると, 作用素環的なアプローチにも2種類ある。 その内1つは, spectral triple を含むものであるが, spectral triple は, Riemann 計量を持つ \(\mathrm {Spin}_c\) 多様体に対応するものである。

• spectral triple

Cantor set のような変な空間も, 非可換幾何額の枠組みでは多様体のように扱えるようで興味深い。Pearson と Bellissard は [PB] で, ultrametric Cantor set に対し, spectral triple を構成している。

Spectral triple の変換群を考えることも行なわれている。

• spectral triple の quantum isometry group

代数的なアプローチは, Woronowicz の [Wor89] が起源なのだろうか。Woronowicz は quantum group 上で微分幾何学の類似を行なうために covariant differential calculus を導入している。これは Hopf algebra 上の differential calculus であるが, commutative algebra 上の differential calculus 自体は, Grothendieck による。

• commutative differential calculus
• noncommutative differential calculus
• covariant differential calculus over Hopf algebra

大雑把に言えば, de Rham complex を bimodule の category の monoid object で微分を持つものにしたものを differential calculus という。定義は, 例えば [BGL20] にある。

可換環の場合の類似が成り立たない, もしくは大きく修正しなければならない場合も, もちろん, 多い。例えば, 可換環の場合は vector field は derivation と同一視できたが, 非可換の場合は Ginzburg [Gin] が言うように, double derivation というものを考えなければならないようである。

• derivation と vector field
• double derivation

また, Barnes と Schenkel と Szabo の [BSS15] の §1.1 に書いてあるように, connection についても, bimodule connection というものを考えないといけないようである。

• bimodule connection [Mou95; DM96; Dub01]

具体的な多様体の非可換版と呼ぶべきものもいろいろ発見されている。

• 非可換多様体の例

Eli Hawkins は, [Haw04; Haw07] で多様体の noncommutative deformation が存在するための条件について考察している。

Kontsevich と Soibelman の [KS09] では, \(A_{\infty }\)-algebra を “noncommutative formal graded pointed manifold equipped with a homological vector field” として扱っている。 \(A_{\infty }\)-algebra や \(A_{\infty }\)-category の代数的な性質と, noncommutative formal graded manifold の間の辞書を作ろうという試みで興味深い。

このような homotopy algebra を用いて, 多様体上の微積分を非可換化しようという試みには, Dolgushev と Tamarkin と Tsygan の [DTT; DTT09; DTT11] などがある。彼等は noncommutative calculus と呼んでいる。

物理学では, 非可換化は量子化に現われる。 数学的にも様々な quatization の概念が導入されているが, 幾何学やトポロジーの分野では symplectic 多様体の deformation quatization が挙げられるだろう。

Symplectic 多様体の deformation quantization と非可換幾何学の関係については, [Dol05] などがある。 Crawley-Boevey と Etingof と Ginzburg の [CEG07] によると Symplectic geometry の非可換化は, Kontsevich [Kon93] により始められたらしいが。 また, [BL02; Gin01] などの研究もあるらしい。

代数幾何を非可換化しようという試みもあるが, 代数多様体と可微分多様体の中間にある analytic manifold の非可換化も重要である。Non-archimedean field の上の analytic manifold に対して, その非可換版の例が Soibelman の [Soi09] にある。Complex analytic manifold の非可換化については, Schuhmacher が [Sch] で考えている。

非可換多様体の内, 最も良く研究されているのは, noncommutative torus だろう。 Kajiura は [Kaj07] で noncommutative torus 上の holomorphic line bundle の圏の記述を求めている。また [Kaj06] では, noncommutative torus を用いて theta 関数の非可換化を考えている。

Landi と van Suijlekom の非可換ゲージ理論の試み [LS08] でも noncommutative torus を扱っている。

Connes と Tretkoff [CT11] や Zadeh と Khalkhali [FK] は, zeta関数を用いて, \(2\)次元 noncommutative torus に対する Gauss-Bonnet の定理を得ている。その計算は, とても読む気になる代物ではないが。

可換性を弱めるだけでなく結合性も弱め, noncommutative nonassociative algebra を考えている人もいる。Barnes と Schenkel と Szabo の [BSS15; BSS16] など。

• nonassociative geometry

References

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