量子群

量子群 (quantum group) は, Drinfel\('\)d [Dri87] と Jimbo [Jim85; Jim86] により発見されたと思っていたが, Alsaody と Stolin [AS17] によると, Drinfel\('\)d と Jimbo とは独立に, Kulish と Reshetikhin [KR81] により研究が始められていたらしい。

神保氏の本 [神保道90] の「はしがき」によると, もともと, 数理物理学の可解モデルを直接の契機として発生したもの, のようである。

さて量子群とは何なのだろうか。Drinfel\('\)d と Jimbo による Lie algebra の universal enveloping algebra の “quantum deformation” として定義される Hopf algebra が量子群の典型的な例であるが, より一般的な Hopf algebra (quasi-triangular Hopf algebra) を quantum group と呼ぶときもあるらしい。 例えば, Andruskiewitsch と Schneider の [AS04] によると, pointed Hopf algebra の一種と考えるのが良さそうである。

一方, Lie 群と Lie algebra の対応は1対1ではないこと, そして可換とは限らない \(C^*\)-algebra を非可換空間と考えるという視点からは, compact あるいは locally compact 群上の関数環の deformation を考えるのも, 自然に思える。 もちろんそのような量子群の理論も構築されている。

• Hopf algebra
• Lie algebra の quantum deformation
• compact あるいは locally compact quantum group
• 量子群の分類
• 量子群の作用
• 量子群の表現

トポロジーとの関係では, やはり結び目などの 量子不変量の発見が最もよく知られているものだろう。

代数的トポロジーにとっては, 一般コホモロジーとの関連が面白そうである。

• Ginzburg と Vasserot による equivariant \(K\)-theory との関連 [GV93]
• Ginzburg と Kapranov と Vasserot による equivariant elliptic cohomology との関連

他にも, 関連したことは数多い。

• Hall algebra
• 量子群の一般化や変種そして関連した代数

References

[AS04]

Nicolás Andruskiewitsch and Hans-Jürgen Schneider. “A characterization of quantum groups”. In: J. Reine Angew. Math. 577 (2004), pp. 81–104. arXiv: math/0201095. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.2004.2004.577.81.

[AS17]

Seidon Alsaody and Alexander Stolin. “Lie bialgebras, fields of cohomological dimension at most 2 and Hilbert’s seventeenth problem”. In: J. Algebra 476 (2017), pp. 368–394. arXiv: 1602.00284. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2016.12.018.

[Dri87]

V. G. Drinfel\('\)d. “Quantum groups”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Berkeley, Calif., 1986). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1987, pp. 798–820.

[GV93]

Victor Ginzburg and Éric Vasserot. “Langlands reciprocity for affine quantum groups of type \(A_{n}\)”. In: Internat. Math. Res. Notices 3 (1993), pp. 67–85. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792893000078.

[Jim85]

Michio Jimbo. “A \(q\)-difference analogue of \(U(\mathfrak{g})\) and the Yang-Baxter equation”. In: Lett. Math. Phys. 10.1 (1985), pp. 63–69. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00704588.

[Jim86]

Michio Jimbo. “A \(q\)-analogue of \(U(\mathfrak{gl}(N 1))\), Hecke algebra, and the Yang-Baxter equation”. In: Lett. Math. Phys. 11.3 (1986), pp. 247–252. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00400222.

[KR81]

P. P. Kuliš and N. Ju. Rešetihin. “Quantum linear problem for the sine-Gordon equation and higher representations”. In: Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 101 (1981). Questions in quantum field theory and statistical physics, 2, pp. 101–110, 207.

[神保道90]

神保道夫. 量子群とヤン・バクスター方程式. 東京: シュプリンガー・フェアラーク東京, 1990, p. vi 134. isbn: 4-431-70594-5.