Smooth Manifolds

可微分多様体は, topological manifold に微分構造を指定したものである。微分構造は, 座標変換が可微分である局所座標系 (atlas) の同値類として定義されるので, 分かりづらい。

• atlas of class \(C^{r}\)

それを避ける一つの方法は, Spivak の本 [Spi65] や Milnor の本 [Mil97] の本のように, Euclid 空間の部分空間の場合に限定して考えることである。 Whitney の埋め込み定理 [Whi36; Whi44] により, 有限次元多様体の場合は, Euclid 空間の部分多様体として考えても一般性を失わない。

• Whitney embedding theorem

もちろん, 無限次元多様体の場合には, 抽象的に定義しないといけない。 そのようなアプローチとして Lang の本 [Lan85] がある。 有限次元とは限らない Banach 空間をモデルとする多様体の定義から出発している。

• Banach 空間をモデルとする可微分多様体

Lang の本のもう一つの特徴は, 多様体を「集合\(+\)局所座標系」として定義していることである。 局所座標系が与えられると, それにより位相が決まるからである。

可微分多様体では, 接空間が定義されるが, その定義にも様々なアプローチがある。 有名な Kobayashi と Nomizu の本 [KN96] のように, ある点 \(p\) の周りで定義された可微分関数の成す環上の, ある条件をみたす functional として定義するものが多いが, 直感的に何を意味しているのか分かりづらい。 Lang の本のように, 局所座標を用いたベクトルの同値類として定義するか, あるいは点 \(p\) を通る曲線の同値類として定義する方が分かり易いと思う。

• tangent space

接空間を集めると tangent bundle という vector bundle ができる。Lang は, 可微分多様体と可微分多様体の成す圏から vector bundle の成す圏への functor として定義している。 それを一般化したのが, Cockett らの tangent category である。

• 可微分多様体と可微分写像の成す圏
• tangent bundle
• tangent category

そして, tangent bundle を用いて様々な構造が定義される。

• cotangent bundle
• 可微分多様体の埋め込みに対し, その normal bundle
• vector field
• differential form
• current
• Riemann 計量

Novikov の [Nov08] によると, 微分形式の理論は Poincaré の発見に起源を持つらしい。 Terence Tao が “Princeton Companion to Mathematics” のために書いた解説 [Tao] は, \(1\)変数関数の積分から書いてあり, 非常に分かりやすい。 微分形式の解説は他にも色々あるが, Bachman の本 [Bac06] は arXiv から download できる。

可微分多様体の間の写像としては, まずは次のものを知っているべきだろう。

• immersion
• embedding
• submersion
• diffeomorphism

非可換幾何学, あるいは Gel’fand-Naimark duality の観点からは, 多様体の構造はその上の関数環に反映されるはずである。

• \(\F =\R \) または \(\bbC \) としたときの, 可微分多様体 \(M\) の \(\F \) に値を持つ可微分関数の成す環 \(C^{\infty }(M)\)
• その compact support を持つ関数の成す部分環 \(C_c^{\infty }(M)\)

実際, Mrcum は, [Mrč05] で次のことを証明している。

• \(C^{\infty }(M)\) と \(C^{\infty }(N)\) の間の同型は, 一意的に決まる微分同相写像 \(M \cong N\) により誘導される。
• Compact support を持つ関数の成す環についても同様のことが成り立つ。

Tangent bundle と cotangent bundle を組にして考えると, Courant algebroid という構造を得る。この意味での extended manifold を考えたのが, Hu と Uribe の [HU09] である。

可微分多様体の入門として有名な Milnorの本 [Mil97] では, framed cobordismにも触れられている。つまり framed manifold のコボルディズムである。

• framed manifold

可微分多様体のコホモロジーを考えるときには, 微分形式との関連が基本的である。

• 多様体の(コ)ホモロジー
• 微分形式と特性類

Connection や curvature も微分形式で表わすものの代表である。より一般に, 可微分多様体と smooth map から成る fiber bundle (smooth fiber bundle) を考え, connection や jet などの概念を考えることができる。

• connection と curvature
• gauge theory
• jet

References

[Bac06]

David Bachman. A geometric approach to differential forms. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 2006, pp. xviii+133. isbn: 978-0-8176-4499-4; 0-8176-4499-7. arXiv: math/0306194.

[HU09]

Shengda Hu and Bernardo Uribe. “Extended manifolds and extended equivariant cohomology”. In: J. Geom. Phys. 59.1 (2009), pp. 104–131. arXiv: math/0608319. url: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2008.10.004.

[KN96]

Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu. Foundations of differential geometry. Vol. I. Wiley Classics Library. Reprint of the 1963 original, A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1996, pp. xii+329. isbn: 0-471-15733-3.

[Lan85]

Serge Lang. Differential manifolds. Second. New York: Springer-Verlag, 1985, pp. ix+230. isbn: 0-387-96113-5. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4684-0265-0.

[Mil97]

John W. Milnor. Topology from the differentiable viewpoint. Princeton Landmarks in Mathematics. Based on notes by David W. Weaver, Revised reprint of the 1965 original. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997, pp. xii+64. isbn: 0-691-04833-9.

[Mrč05]

Janez Mrčun. “On isomorphisms of algebras of smooth functions”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 133.10 (2005), 3109–3113 (electronic). arXiv: math / 0309179. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-05-07979-7.

[Nov08]

S. P. Novikov. “Dynamical systems and differential forms. Low dimensional Hamiltonian systems”. In: Geometric and probabilistic structures in dynamics. Vol. 469. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2008, pp. 271–287. arXiv: math/0701461.

[Spi65]

Michael Spivak. Calculus on manifolds. A modern approach to classical theorems of advanced calculus. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1965, pp. xii+144.

[Tao]

Terrence Tao. Differential Forms and Integration. url: https://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/forms.pdf.

[Whi36]

Hassler Whitney. “Differentiable manifolds”. In: Ann. of Math. (2) 37.3 (1936), pp. 645–680. url: http://dx.doi.org/10.2307/1968482.

[Whi44]

Hassler Whitney. “The self-intersections of a smooth \(n\)-manifold in \(2n\)-space”. In: Ann. of Math. (2) 45 (1944), pp. 220–246. url: https://doi.org/10.2307/1969265.