Cyclic homology とその変種

Cyclic homology の起源は, 2つある。 Connes の noncommutative de Rham theory [Con83] と Tsygan [Tsy83] による algebraic \(K\)-theory の Lie analogue である。

Connes の本 [Con94] の chapter III に, その motivation から解説してある。 ホモロジー代数的には, Loday の [Lod98] という本がある。

最初の定義は, 具体的な chain complex の構成を用いたもので, Kaledin [Kal09] によると, ホモロジー代数とは言えないものである。 その後 cyclic category などを用いて定義が改良されてきたが, Kaledin にはまだ満足できるものではないようである。

Cyclic homology については, Quillen [Qui89] による presentation を用いた limit としての記述もある。 Cyclic homology に関する Quillen の仕事については, Cuntz による survey [Cun] がある。 Ivanov と Mikhailov [IM] は, その拡張として limit の derived functor を用いた記述を得ている。 Ginzburg の [Gin] では, cyclic cohomology の更に別の定義が提案されている。

  • cyclic object
  • cyclic homology と Hochschild homology に関する Connesのperiodicity sequence \[ \cdots \longrightarrow HH_n(A) \longrightarrow HC_n(A) \longrightarrow HC_{n-2}(A) \longrightarrow HH_{n-1}(A) \longrightarrow \cdots \]

Park の [Par] は, Connes の periodicity sequence を S. Bloch の higher Chow group に拡張するものである。Cyclic higher Chow group, そして更に Connes higher Chow group が定義され, periodicity sequence の存在が示されている。これらの Chow group の cyclic版 に対し, \(\mathbb{A}^1\)-homotopy invariance も示している。

他の代数的構造に対し拡張 (修正) することも色々考えられている。例えば, Hopf algebra に対しては, Connes と Moscovici [CM98] による拡張がある。

Ring spectrum へ一般化したものは, topological cyclic homology と呼ばれている。

巡回群を対称群に変えることにより symmetric homology というものが Ault と Fiedorowicz の [AF] で定義されている。 他にも Loday により [Lod87] で定義された dihedral homologyや quaternionic homologyがある。

これらは, crossed simplicial group に対して定義される代数の homology と考えることができる。

Kustermans ら [KMT03] の twisted cyclic homology というものもある。Hochschild homology の twisted version もある。 Hadfield と Krähmer が [HK05; HK10] などで調べている。

また彼らは, [HK09] で braided cyclic homology や braided Hochschild homology というものも調べている。元々 Baez [Bae94] により導入され Akrami と Majid [AM04] により改良されたものらしい。

References

[AF]

Shaun Ault and Zbigniew Fiedorowicz. Symmetric Homology of Algebras. arXiv: 0708.1575.

[AM04]

S. E. Akrami and S. Majid. “Braided cyclic cocycles and nonassociative geometry”. In: J. Math. Phys. 45.10 (2004), pp. 3883–3911. arXiv: math/0406005. url: https://doi.org/10.1063/1.1787621.

[Bae94]

John C. Baez. “Hochschild homology in a braided tensor category”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 344.2 (1994), pp. 885–906. url: http://dx.doi.org/10.2307/2154514.

[CM98]

A. Connes and H. Moscovici. “Hopf algebras, cyclic cohomology and the transverse index theorem”. In: Comm. Math. Phys. 198.1 (1998), pp. 199–246. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002200050477.

[Con83]

Alain Connes. “Cohomologie cyclique et foncteurs \(\mathrm{Ext}^{n}\)”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 296.23 (1983), pp. 953–958.

[Con94]

Alain Connes. Noncommutative geometry. San Diego, CA: Academic Press Inc., 1994, pp. xiv+661. isbn: 0-12-185860-X.

[Cun]

Joachim Cuntz. Quillen’s work on the foundations of cyclic cohomology. arXiv: 1202.5958.

[Gin]

Victor Ginzburg. Double derivations and Cyclic homology. arXiv: math/0505236.

[HK05]

Tom Hadfield and Ulrich Krähmer. “Twisted homology of quantum \(\mathrm{SL}(2)\)”. In: \(K\)-Theory 34.4 (2005), pp. 327–360. arXiv: math/0405249. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10977-005-3118-2.

[HK09]

Tom Hadfield and Ulrich Krähmer. “Braided homology of quantum groups”. In: J. K-Theory 4.2 (2009), pp. 299–332. arXiv: math/0701193. url: http://dx.doi.org/10.1017/is008008021jkt063.

[HK10]

Tom Hadfield and Ulrich Krähmer. “Twisted homology of quantum \(\mathrm{SL}(2)\) - Part II”. In: J. K-Theory 6.1 (2010), pp. 69–98. arXiv: 0711.4102. url: http://dx.doi.org/10.1017/is009009022jkt091.

[IM]

Sergei O. Ivanov and Roman Mikhailov. A higher limit approach to homology theories. arXiv: 1309.4920.

[Kal09]

D. Kaledin. “Cyclic homology with coefficients”. In: Algebra, arithmetic, and geometry: in honor of Yu. I. Manin. Vol. II. Vol. 270. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 2009, pp. 23–47. arXiv: math/0702068. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4747-6_2.

[KMT03]

J. Kustermans, G. J. Murphy, and L. Tuset. “Differential calculi over quantum groups and twisted cyclic cocycles”. In: J. Geom. Phys. 44.4 (2003), pp. 570–594. arXiv: math/0110199. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0393-0440(02)00115-8.

[Lod87]

Jean-Louis Loday. “Homologies diédrale et quaternionique”. In: Adv. in Math. 66.2 (1987), pp. 119–148. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(87)90032-6.

[Lod98]

Jean-Louis Loday. Cyclic homology. Second. Vol. 301. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Appendix E by Marı́a O. Ronco, Chapter 13 by the author in collaboration with Teimuraz Pirashvili. Springer-Verlag, Berlin, 1998, pp. xx+513. isbn: 3-540-63074-0. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-11389-9.

[Par]

Jinhyun Park. Algebraic cycles and Connes periodicity. arXiv: math/0607272.

[Qui89]

Daniel Quillen. “Cyclic cohomology and algebra extensions”. In: \(K\)-Theory 3.3 (1989), pp. 205–246. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00533370.

[Tsy83]

B. L. Tsygan. “Homology of matrix Lie algebras over rings and the Hochschild homology”. In: Uspekhi Mat. Nauk 38.2(230) (1983), pp. 217–218.