C∗-algebra と関連した概念

トポロジーにとっての (可換な) \(C^*\)-algebra は, 代数幾何学にとっての可換環のようなもの, と言って良いだろう。 Gel\('\)fand-Naimark の定理により, コンパクト Hausdorff 空間の圏が affine scheme の圏に対応する。

• \(C^*\)-algebra の基礎
• Gel’fand-Naimark duality

可換な \(C^*\)-algebra とコンパクト Hausdorff 空間の対応は形式的なものではなく, \(K\)-theory などが, 直接 \(C^*\)-algebra の言葉で表せることが重要である。

• \(C^*\)-algebra の \(K\)理論

よって, 非可換な \(C^*\)-algebra を考えることにより 非可換な空間のトポロジーを行う, というアイデアが出てきたのは, 不思議なことではない。

非可換な\(C^*\)-algebra は, 様々なデータから作られる。例えば, locally compact group からは, group \(C^*\)-algebra ができる。Paterson の本 [Pat99] によると, 群から自然に作られたのではない \(C^*\)-algebra の多くのものは, groupoid か inverse semigroup から作られたものとみなすことができるようである。

• \(C^*\)-algebra の例

また Exel の [Exe11] によると, \(C^*\)-algebra の理論では, 組み合せ論や small category も重要な役割を果たすようである。 Meyer と Nest の 位相空間上の \(C^*\)-algebra の \(K\)理論に関する [MN09] では, finite space も登場する。

• combinatorial \(C^*\)-algebra
• 位相空間上の \(C^*\)-algebra

\(K\)-theory が定義できることから, \(C^{*}\)-algebra 全体をホモトピー論的な視点から調べることも行われている。

• \(C^*\)-algebra のホモトピー論

ホモトピー論との関係では, 最近 \(C^{*}\)-algebra から作られる 無限ループ空間が, 色々発見されているのが興味深い。Dadarlat と Pennig の [DP16] や Pennig と Tridimas の [PT] など。

\(C^*\)-algebra の拡張や \(C^*\)-algebra に構造を付加したものとしては, 正定値ではないnorm を持つ Krein \(C^*\)-algebra [Kawa] や bialgebra の構造を持つ \(C^*\)-bialgebra [Kawb] などが考えられている。 Real structure を持つ Real \(C^*\)-algebra も [Kel19] などで考えられている。

Many-objectification して category にしたものも調べられている。

• \(C^*\)-category とその変種

余積を持つものは, quantum group への一つのアプローチとなる。

• comact quantum group
• locally compact quantum group

References

[DP16]

Marius Dadarlat and Ulrich Pennig. “A Dixmier-Douady theory for strongly self-absorbing \(C^*\)-algebras”. In: J. Reine Angew. Math. 718 (2016), pp. 153–181. arXiv: 1302.4468. url: https://doi.org/10.1515/crelle-2014-0044.

[Exe11]

R. Exel. “Semigroupoid \(C^\ast \)-algebras”. In: J. Math. Anal. Appl. 377.1 (2011), pp. 303–318. arXiv: math/0611929. url: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2010.10.061.

[Kawa]

Katsunori Kawamura. Algebra with indefinite involution and its representation in Krein space. arXiv: math/0610059.

[Kawb]

Katsunori Kawamura. Non-existence of universal \(R\)-matrix for some C\(^{*}\)-bialgebras. arXiv: 0912.3578.

[Kel19]

Johannes Kellendonk. “Cyclic cohomology for graded \(C^{*,r}\)-algebras and its pairings with van Daele \(K\)-theory”. In: Comm. Math. Phys. 368.2 (2019), pp. 467–518. arXiv: 1607.08465. url: https://doi.org/10.1007/s00220-019-03452-1.

[MN09]

Ralf Meyer and Ryszard Nest. “\(C^{*}\)-algebras over topological spaces: the bootstrap class”. In: Münster J. Math. 2 (2009), pp. 215–252. arXiv: 0712.1426.

[Pat99]

Alan L. T. Paterson. Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras. Vol. 170. Progress in Mathematics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1999, pp. xvi+274. isbn: 0-8176-4051-7. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-1774-9.

[PT]

Ulrich Pennig and George Tridimas. Infinite Loop Spaces and Group Actions on Strongly Self-Absorbing \(C^*\)-Algebras. arXiv: 2607.20105.