Derivation と関連した概念

ホモロジー代数では, chain complex, つまり differential graded module が基本的な研究対象である。 その underlying graded module が積を持つときには, differential も「積の微分の公式 (Leibniz rule)」をみたしていてほしい。 そのような differential を derivation という。

Derivation を定義するだけなら, chain complex の boundary operator になっている必要はなく, 更に grading も不要である。 単なる環に対して定義できる。 より一般には, \(R\)-algebra \(S\) 上のbimodule \(N\) に対し, \(R\)-module の準同型 \[ \delta : S \longrightarrow N \] で「積の微分の公式 (Leibniz rule)」をみたすものを, \(R\)-linear derivation という。

• 代数的な微分作用素
• \(R\)-linear derivation
• \(R\)-linear derivation の成す module \(\mathrm{Der}_{R}(S,N)\)

可換環の準同型 \[ \varphi : R \longrightarrow S \] があると, \(S\) を \(R\)-algebra とみなすことができる。 このとき, functor \(\mathrm{Der}_{R}(S,-)\) は, 表現可能である。

• \(R\)-module \(\Omega _{\varphi }\) で, 自然な準同型 \[ \Hom _S(\Omega _{\varphi },N) \longrightarrow \mathrm{Der}_{R}(S,N) \] が同型になるものが存在する。

この \(\Omega _{\varphi }\) の構成については, Iyengar の [Iye07] に Exercise 2.6 として述べてある。また Matsumura の [Mat86]の §9 を見るように, とも書いてある。 \(\Omega _{\varphi }\) の元を Kähler differential という, らしい。

Coalgebra に対しては, coderivation がある。

• coderivation

可微分多様体の関数環上の derivation は vector field とみなすことができる。 多様体の非可換版を考えるときには, 関数環を非可換なものに置き換えるので, derivation の定義も修正する必要がある。そこで考えられたのが, double derivation である。

• doube derivation

Double derivation は, Crawley-Boevey の [Cra99] を元に Ginzburg 達が [CEG07] で導入した概念である。 [Van08] という試みもある。更に, [Gin] で調べられている。そこでは, cyclic homology の新しい定義が与えられている。

Cyclic derivative というものもある。Voiculescu の [Voi02] によると, Rota と Sagan と Stein により, [RSS80] で導入された。

• cyclic derivative

References

[CEG07]

William Crawley-Boevey, Pavel Etingof, and Victor Ginzburg. “Noncommutative geometry and quiver algebras”. In: Adv. Math. 209.1 (2007), pp. 274–336. arXiv: math/0502301. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.05.004.

[Cra99]

William Crawley-Boevey. “Preprojective algebras, differential operators and a Conze embedding for deformations of Kleinian singularities”. In: Comment. Math. Helv. 74.4 (1999), pp. 548–574. url: http://dx.doi.org/10.1007/s000140050105.

[Gin]

Victor Ginzburg. Double derivations and Cyclic homology. arXiv: math/0505236.

[Iye07]

Srikanth Iyengar. “André-Quillen homology of commutative algebras”. In: Interactions between homotopy theory and algebra. Vol. 436. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 203–234. arXiv: math/0609151. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/436/08410.

[Mat86]

Hideyuki Matsumura. Commutative ring theory. Vol. 8. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Translated from the Japanese by M. Reid. Cambridge University Press, Cambridge, 1986, pp. xiv+320. isbn: 0-521-25916-9.

[RSS80]

Gian-Carlo Rota, Bruce Sagan, and Paul R. Stein. “A cyclic derivative in noncommutative algebra”. In: J. Algebra 64.1 (1980), pp. 54–75. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(80)90133-7.

[Van08]

Michel Van den Bergh. “Double Poisson algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 360.11 (2008), pp. 5711–5769. arXiv: math/0410528. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-08-04518-2.

[Voi02]

Dan Voiculescu. “Cyclomorphy”. In: Int. Math. Res. Not. 6 (2002), pp. 299–332. arXiv: math/0105096. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792802105046.