Stasheff [Sta63] により発見された \(A_{\infty }\) 構造は, その適用範囲をどんどん広げている。
ホモトピー論にとって, そして Stasheff の motivation から考えても, まず基本は \(A_{\infty }\)-space, つまり Hopf空間
のホモトピー結合性の研究である。
現在では, \(A_{\infty }\)-space より \(A_{\infty }\)-algebra の方が有名ではないだろうか。
\(k\) 上の algebra を, \(k\)-module の圏で enrich された, object \(1\)つの圏とみなすと, \(k\)-linear category は
\(k\)-algebra の “many objectification” とか “horizontal categorification”, あるいは “ring with
several objects” とみなすことができる。同様に, \(A_{\infty }\)-algebra の horizontal categorification として \(A_{\infty }\)-category
の概念が得られる。
References
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[Sta63]
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James Dillon Stasheff. “Homotopy associativity of \(H\)-spaces. I, II”.
In: Trans. Amer. Math. Soc. 108 (1963), 275-292; ibid. 108 (1963),
pp. 293–312.
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