Hopf algebra や bialgebra

Hopf algebra とは, algebra と coalgebra の構造を合せ持つ代数的構造である。 ある意味で群を線形化したものと言ってよいだろう。 よって, 逆元を取る操作に対応する構造を持つ。そのような構造を持たないものは bialgebra と呼ばれる。

Hopf algebra は, 様々な場面で登場する。代数的トポロジーでは (コ)ホモロジーとして現れるものが多いので, 次数付きであると仮定するのが普通である。そのような Hopf algebra に関する文献としては, Milnor と Moore の [MM65] が有名である。

• 各種次数付き代数

それを元にしたものであるが, May と Ponto の [MP12] の Part 5 に, 代数的トポロジーで必要な Hopf algebra と bialgebra についてまとめられているので, 便利である。

Hopf algebra 全般についての教科書や解説は, 次のページにまとめた。

• Hopf algebra の基本

群の線形化と考えると, group algebra を基本的な Hopf algebra の例と考えるべきだろう。より一般に, 代数群の関数環や量子群として現れるものもある。 体のGalois拡大 も Hopf algebra の言葉で述べることができる。

• 代数群や group scheme
• 量子群

Andruskiewitsch と Santos が Hopf algebra の起源について書いた [AF09] によると, 最初に Hopf algebra を定式化したのは, Cartier (1956年) で, 代数群がその起源だったようである。 Hopf algebra という名前は, Borel により1953年に導入されたので, 名前の方が早かったようである。Cartier は [Car07] という survey も書いている。

私は, 最初に Milnor と Moore の論文などで Hopf algebra について勉強したので, Hopf algebra の起源は代数的トポロジーにおける Hopf の仕事で, その後純粋に代数的な構造として扱われるようになったと思い込んでいたのだが, この Andruskiewitsch と Santos の解説で, 代数群の研究が独立したもう一つの起源だったことを知った。更に, Andruskiewitsch による finite dimensional Hopf algebra の survey [And14] によると, von Neumann algebra の圏での group object もその起源の一つらしい。

このように群の一般化とみなすと, 群に関する様々な概念を Hopf algebra に一般化したくなるし, そのようなアプローチは基本的である。 例えば, extension については多くの人に調べられている。関連して, Hopf algebra の作用や群の半直積の一般化も考えられている。

• Hopf algebra と拡大
• 群や Hopf algebra などの algebra への作用

当然分類もしたくなる。

• Hopf algebra の分類

分類をするためには, 不変量が欲しくなる。代数的トポロジーの視点からは, まず, 群のコホモロジーに対応する Hopf algebra のコホモロジーを考えたくなる。実際, bialgebra や Hopf algebra のコホモロジーは, その用途に合せ, 様々なものが考えられている。

• Hopf algebra や bialgebra の (co)homology

Hopf algebra の 表現の成す圏も, 重要な不変量である。Hopf algebra の場合は, monoidal category になるので, 表現の圏が monoidal category として同値になるかどうかが問題である。

• monoidal Morita equivalence

これについては, gauge equivalence という概念で finite dimensional Hopf algebra の monoidal Morita equivalence を特徴づけた, Schauenburg [Sch96] の結果がある。

• gauge equivalence of Hopf algebras

ただ, gauge equivalence かどうかを確かめるのも容易ではないので, gauge transformation で不変な Hopf algebra の不変量が色々考えられている。

• dimension
• exponent [EG99]
• quasi-exponent [EG02]
• Frobenius-Schur indicator [LM]
• \(n\)-indicator [KMN12]

また, 表現の category から元の Hopf algebra を復元しようというのが Tannka-Krein duality である。これについては, Vercruysse の [Ver] にまとめられている。

• Tannaka-Krein duality

Böhm の [Böh10] の冒頭に書かれているように, Hopf algebra の理論で行なわれてきた構成は, より一般的な category theory での構成の特別な場合であることが分かってきた。 \(2\)-category や monad などの言葉がどんどん使われるようになってきたようである。そのような categorical な一般化以外にも様々な一般化が考えられている。

• Hopf algebra の変種や一般化

他に Hopf algebra と関連した話題については, 以下にまとめた。

• Hopf algebra に関連した代数的構造
• Hopf algebra に関連した構成
• 組み合せ論と Hopf algebra
• 数理物理に現われる Hopf algebra
• Hopfological algebra

References

[AF09]

Nicolás Andruskiewitsch and Walter Ferrer Santos. “The beginnings of the theory of Hopf algebras”. In: Acta Appl. Math. 108.1 (2009), pp. 3–17. arXiv: 0901 . 2460. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10440-008-9393-1.

[And14]

Nicolás Andruskiewitsch. “On finite-dimensional Hopf algebras”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians—Seoul 2014. Vol. II. Kyung Moon Sa, Seoul, 2014, pp. 117–141. arXiv: 1403.7838.

[Böh10]

Gabriella Böhm. “The weak theory of monads”. In: Adv. Math. 225.1 (2010), pp. 1–32. arXiv: 0902 . 4192. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.02.015.

[Car07]

Pierre Cartier. “A primer of Hopf algebras”. In: Frontiers in number theory, physics, and geometry. II. Springer, Berlin, 2007, pp. 537–615. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-30308-4_12.

[EG02]

Pavel Etingof and Shlomo Gelaki. “On the quasi-exponent of finite-dimensional Hopf algebras”. In: Math. Res. Lett. 9.2-3 (2002), pp. 277–287. arXiv: math/0109196. url: https://doi.org/10.4310/MRL.2002.v9.n3.a5.

[EG99]

Pavel Etingof and Shlomo Gelaki. “On the exponent of finite-dimensional Hopf algebras”. In: Math. Res. Lett. 6.2 (1999), pp. 131–140. arXiv: math/9812151.

[KMN12]

Yevgenia Kashina, Susan Montgomery, and Siu-Hung Ng. “On the trace of the antipode and higher indicators”. In: Israel J. Math. 188 (2012), pp. 57–89. arXiv: 0910 . 1628. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11856-011-0092-7.

[LM]

Vitaly Linchenko and Susan Montgomery. A Frobenius-Schur theorem for Hopf algebras. arXiv: math/0004097.

[MM65]

John W. Milnor and John C. Moore. “On the structure of Hopf algebras”. In: Ann. of Math. (2) 81 (1965), pp. 211–264. url: http://dx.doi.org/10.2307/1970615.

[MP12]

J. P. May and K. Ponto. More concise algebraic topology. Chicago Lectures in Mathematics. Localization, completion, and model categories. Chicago, IL: University of Chicago Press, 2012, pp. xxviii+514. isbn: 978-0-226-51178-8; 0-226-51178-2.

[Sch96]

Peter Schauenburg. “Hopf bi-Galois extensions”. In: Comm. Algebra 24.12 (1996), pp. 3797–3825. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879608825788.

[Ver]

Joost Vercruysse. Hopf algebras—Variant notions and reconstruction theorems. arXiv: 1202.3613.